工时受限的作业调度问题：贪心算法失效后的优化方案咨询

这是典型的0-1背包问题：每个工作选项只能选一次，总工时上限是背包容量，工资是物品价值。标准贪心算法（按单位工时工资从高到低排序选择）失效的核心原因是——它只适用于可分割的分数背包，但这里的工作选项是不可分割的：你不能只做一半5小时的工作来拿对应比例的工资。

拿你的测试用例来说：

• 7小时70块的时薪约为10元/小时，是单个选项里最高的，但选它之后剩下3小时只能选1小时1块的选项，总工资71；
• 而两个5小时69块的选项，总工时刚好10小时，总工资138，远高于前者。贪心的局部最优选法完全忽略了这种更优的全局组合。

暴力枚举所有子集的时间复杂度是O(2^n)，n是工作选项数量，当n超过20就会变得极慢。动态规划能在O(n*C)的时间复杂度内解决问题（n是选项数，C是最大工时，这里是10），效率高且能保证最优解。

动态规划实现步骤 #

1. 定义状态：用dp[i]表示总工时不超过i小时时，能赚到的最高工资。
2. 初始化：dp[0] = 0，其余dp元素初始为0（因为工时为0时工资为0，其他初始状态还没选任何工作）。
3. 状态转移：遍历每个工作选项（工资w，时长t），然后从后往前遍历工时（从10到t），更新：

   dp[j] = max(dp[j], dp[j - t] + w)
   

   从后往前遍历是为了避免重复选择同一个工作选项（保证每个选项只被选一次）。
4. 获取结果：dp[10]就是单日能赚到的最大工资。

针对测试用例的计算过程 #

测试用例：工资数组[70,69,69,1]，时长数组[7,5,5,1]，最大工时10。

• 初始dp = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
• 处理第一个选项（70元，7小时）：
  从7到10遍历，更新后dp[7~10]变为70；
• 处理第二个选项（69元，5小时）：
  从5到10遍历，dp[5]变为69，dp[10]更新为max(70, dp[5]+69)=138；
• 处理第三个选项（69元，5小时）：
  遍历后dp[10]保持138（已是最优）；
• 处理第四个选项（1元，1小时）：
  遍历后不会改变dp[10]的结果。
  最终dp[10] = 138，是正确的最优解。

很难通过简单调整标准贪心来保证得到最优解。贪心的核心是局部最优选择，而0-1背包的最优解依赖全局组合。如果只是需要近似解，可以尝试一些启发式贪心（比如同时考虑单位时薪和剩余容量的适配性），但这类方法无法确保100%找到最优解。如果必须得到准确的最大工资，动态规划是远优于暴力解法的选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dnyanesh Shinde