为何对数正态回报的cumprod/cumsum得到的最终价格均值偏离1.0？

理论正确性确认 #

你的公式mu = -sigma²/2是完全正确的。几何布朗运动的离散化中，单步对数回报r_t = ln(S_t/S_{t-1})服从正态分布N(mu, sigma²)，对应的单步价格因子exp(r_t)的期望为：

E[exp(r_t)] = exp(mu + sigma²/2)

要让该期望为1（保证每一步价格的期望不变），解得mu = -sigma²/2，进而最终价格S_n = S_0 * product(exp(r_t))的期望为1^(n-1) = 1，理论上完全成立。

模拟结果偏离的原因 #

你观察到的结果并非理论缺陷或数值稳定性问题，而是参数组合导致最终价格的分布极度右偏，有限次模拟中未抽到足够多的极端大值样本：
当你设置sigma=1、n=100时，共有99个对数回报，它们的和服从正态分布N(99*mu, 99*sigma²)，代入mu=-0.5后，和的均值为-49.5，标准差约为9.95。此时：

• 绝大多数样本的和会落在-49.5 ± 3*9.95区间内，对应exp(和)的取值约为3e-9到1e-34；
• 和为正值的概率极低（Z值约为4.97，对应概率仅约3e-7），意味着10万次模拟中几乎抽不到让exp(和)大幅大于1的样本。

这种情况下，样本均值会被大量极小值主导，远低于理论均值1。

解决方法 #

1. 调整模拟参数 #

选择更合理的参数组合，让最终价格的分布右偏程度降低：

• 减小sigma：比如将sigma设为0.1，此时单步对数回报的均值为-0.005，99个回报和的均值为-0.495，标准差约0.995，和为正值的概率约31%，10万次模拟就能得到接近1的均值。
• 减小n：比如设n=2（仅1个对数回报），此时和的分布为N(-0.5,1)，和为正值的概率约31%，模拟结果会快速收敛到1。

2. 大幅增加模拟次数 #

如果必须使用原参数，需要将模拟次数提升到千万甚至亿级，才能抽到足够多的极端大值样本，让样本均值收敛到理论值。

验证示例 #

调整参数后的代码：

import numpy as np

def gen_prices(n: int, start_price: float = 1.0, sigma: float = 1.0) -> np.ndarray:
    mu = -(sigma**2) / 2
    log_returns = np.random.normal(mu, sigma, size=n - 1)
    prices = np.exp(
        np.cumsum(
            np.concatenate([np.array([np.log(start_price)]), log_returns]),
        )
    )
    return prices

# 使用sigma=0.1，n=100
num_iter = 100000
num_prices = 100
final_prices = [gen_prices(n=num_prices, sigma=0.1)[-1] for _ in range(num_iter)]
print(np.mean(final_prices))  # 结果会接近1.0

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bluenote10