如何用lpSolveAPI实现含投资回收期约束的设备替换规划

问题核心 #

你要解决的是带两个约束的0-1整数规划问题：

• 总替换成本不超预算
• 项目整体静态投资回收期 ≤ 目标值（总替换成本/总年节约 ≤ 回收期目标）
  原代码里把回收期约束写成c/s的行向量，这是错误的——这相当于把每个设备的单独回收期相加，完全不符合整体回收期的定义。

正确约束转化 #

静态投资回收期的约束是非线性的：
$$\frac{\sum_{i=1}^n C_i x_i}{\sum_{i=1}^n S_i x_i} \leq P$$
其中$x_i$是0-1变量（选则为1，不选则为0），$P$是回收期目标。

要转化为线性约束，两边同时乘以总年节约（注意总年节约为正，不等号方向不变）：
$$\sum_{i=1}^n C_i x_i \leq P \times \sum_{i=1}^n S_i x_i$$
整理成标准线性约束形式：
$$\sum_{i=1}^n (C_i - P \times S_i) x_i \leq 0$$

修改后的R代码 #

n <- 1000 # 变量数量

# 影响指标（取负是因为lpSolve默认求最小，转成最大化问题）
I <- -rnorm(n, mean=20000, sd=8000)
# 年成本节约
s <- rnorm(n, mean=2500, sd=1000)
# 替换成本
c <- rnorm(n, mean=15000, sd=5000)

payback_goal <- 3
budget <- 1000000

library(lpSolveAPI)
# 现在是2个约束：预算约束 + 线性化后的回收期约束
my.lp <- make.lp(2, n)

# 约束1：总替换成本 ≤ 预算
set.row(my.lp, 1, c)
set.constr.type(my.lp, 1, "<=")
set.rhs(my.lp, 1, budget)

# 约束2：线性化后的回收期约束 Σ(Ci - P*Si)xi ≤ 0
constr_coeffs <- c - payback_goal * s
set.row(my.lp, 2, constr_coeffs)
set.constr.type(my.lp, 2, "<=")
set.rhs(my.lp, 2, 0)

# 设置目标函数（最大化总影响，所以用负的I求最小）
set.objfn(my.lp, I)
# 所有变量设为二元0-1变量
set.type(my.lp, 1:n, "binary")

# 求解
solve(my.lp)
soln1 <- get.variables(my.lp)

# 计算结果
s1_cost <- sum(soln1 * c)
s1_impact <- -get.objective(my.lp)
s1_pb <- sum(soln1*c) / sum(soln1*s) 

# 输出验证
cat("总替换成本：", s1_cost, "\n")
cat("总影响：", s1_impact, "\n")
cat("实际回收期：", s1_pb, "\n")

注意事项 #

• 如果所有变量都不选，回收期会出现除以0的情况，若需要强制选至少一个设备，可以加第三个约束：$\sum x_i \geq 1$，代码里可以加一行add.constraint(my.lp, rep(1,n), ">=", 1)。
• 确保年成本节约s的所有值都是正数，否则线性化时不等号方向可能变化（不过实际中年节约肯定是正的）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者coolhand