如何计算无谐波正弦波的有效频率？（44.1kHz采样率）

我正在编写一款采样率为44.1kHz的正弦波音频生成程序。下方两幅图的X轴为720个音频样本，Y轴为取值±4000的正弦波（4000代表振幅/音量）。

将包含720个样本的正弦波（1440字节的16位有符号PCM音频）以连续数据报形式发送至音频应用，以还原纯净测试音。要获得纯净音调，需生成下方的连续波形（目前需手动调整频率实现）。

我的问题是：如何通过数学方法计算符合要求的有效频率集合？

正弦波生成代码片段 #

// check sampleRate, channelCount and sampleFormat
if (rAudioFormat.isValid()) {
    const auto sampleFormat = rAudioFormat.sampleFormat();
    const auto channelCount = rAudioFormat.channelCount();
    const auto bytesPerFrame = rAudioFormat.bytesPerFrame();
    const auto volume = aVolumePercent / 100.0f;
    // payload must have room for at least 1 frame
    if (aAudioSizeBytes >= bytesPerFrame) {
        static std::default_random_engine gRandomNumberGenerator;
        // each frame contains inputChannelCount audio samples
        const qint64 frameCount = aAudioSizeBytes / bytesPerFrame;
        // pad size in bytes at the end of the datagram.
        const qint64 paddingBytes = aAudioSizeBytes % bytesPerFrame;
        // allocate raw data for an unpadded audio sample
        const auto payload = std::make_unique<char[]>(aAudioSizeBytes - paddingBytes);
        switch (aSignalGenerator) {
        case SignalGenerator::Monotone:
            {
                if ((!rGeneratorParams.empty()) &&
                    (static_cast<size_t>(rAudioFormat.sampleRate()) > 0u)) {
                    const auto frequency = rGeneratorParams[0];
                    for (auto t = 0; t < frameCount; ++t) {
                        const auto value = qSin(
                            2 * M_PI * frequency * (t % frameCount) /
                            rAudioFormat.sampleRate());
                        switch (sampleFormat) {
                        . . .
                        case QAudioFormat::SampleFormat::Int16:
                            {
                                constexpr auto gMaxVal = std::numeric_limits<int16_t>::max();
                                const auto dest = reinterpret_cast<int16_t*>(payload.get());
                                for (auto i = 0; i < channelCount; i++) {
                                    dest[t * channelCount + i] =
                                        static_cast<int16_t>(gMaxVal * volume * value);
                                }
                            }
                            break;

波形对比图 #

当前未完善的辅助函数代码 #

//! helper function to calculate produce pure tones
    //! given nTotalSamples with given nSampleRate.
    std::vector<int> getDivisors(int nSampleRate, int nTotalSamples, int nearestMin) {
        std::vector<int> divisors;
        if ((nSampleRate> 0) && (nearestMin > 0) &&
            (nearestMin <= nTotalSamples)) {
            for (int i = nearestMin; i < nTotalSamples; ++i) {
                if ((nTotalSamples % i) == 0) {
                    // calculate the corresponding tone frequency
                    divisors.emplace_back(i);
                }
            }
        }
        return divisors;
    }

核心数学逻辑 #

要让连续发送的720样本数据报拼接后无断点（形成纯净无谐波的正弦波），必须保证每个720样本块恰好包含整数个正弦波周期。

设采样率为Fs=44100Hz，每个数据报的样本数为N=720，频率为f，则需满足：
(f * N) / Fs = k，其中k是正整数（每个块包含k个周期）

变形可得有效频率公式：
f = (k * Fs) / N

同时要遵守奈奎斯特采样定理：f < Fs/2，即f < 22050Hz，因此k的最大值为floor( (N * Fs/2) / Fs ) = floor(N/2) = 360

完善后的辅助函数 #

修改函数，直接计算符合要求的频率集合，同时过滤超过奈奎斯特极限的数值：

#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

//! 计算可生成纯净音调的有效频率集合
//! @param nSampleRate: 采样率（如44100）
//! @param nTotalSamples: 每个数据报的样本数（如720）
//! @param minFreq: 最小目标频率（可选，默认0）
//! @return 符合要求的有效频率列表
std::vector<double> getPureToneFrequencies(int nSampleRate, int nTotalSamples, double minFreq = 0.0) {
    std::vector<double> frequencies;
    if (nSampleRate <= 0 || nTotalSamples <= 0) {
        return frequencies;
    }

    const double nyquist = nSampleRate / 2.0;
    // 计算最大允许的k值：k_max = floor( (nyquist * nTotalSamples) / nSampleRate )
    const int maxK = static_cast<int>(std::floor( (nyquist * nTotalSamples) / nSampleRate ));

    for (int k = 1; k <= maxK; ++k) {
        double freq = static_cast<double>(k * nSampleRate) / nTotalSamples;
        if (freq >= minFreq) {
            frequencies.push_back(freq);
        }
    }

    // 可选：排序频率列表
    std::sort(frequencies.begin(), frequencies.end());
    return frequencies;
}

代码说明 #

1. 奈奎斯特限制：直接通过nyquist = nSampleRate/2计算上限，确保生成的频率不会发生混叠。
2. k值范围：k从1开始到maxK，保证每个数据报包含整数个正弦波周期，拼接后波形连续无断点。
3. 频率计算：严格按照f=(k*Fs)/N计算，确保每个块的起始和结束相位完全一致，避免拼接时产生谐波。
4. 最小频率过滤：可选参数minFreq可以过滤掉过低的频率，符合实际测试需求。

验证示例 #

以你的参数（Fs=44100，N=720）为例：

• k=1时，f=(1*44100)/720=61.25Hz
• k=2时，f=122.5Hz
• ...
• k=360时，f=(360*44100)/720=22050Hz（刚好等于奈奎斯特频率，实际建议取到359，f=21988.75Hz）

这些频率生成的720样本块，拼接后都会形成连续的正弦波，不会产生谐波。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者johnco3