如何用Python与Scipy求解物料配比线性规划优化问题

问题背景 #

现有三种含不同化学元素的物料，每千克的元素含量与单价如下：

• 物料A：含0.02g铜（cu）、0.3g镁（mg）、0.005g nc，单价1000美元/千克
• 物料B：含0.033g铜、0.2g镁、0g nc，单价1500美元/千克
• 物料C：含0.05g铜、0.35g镁、0g nc，单价1700美元/千克

需混合这三种物料制造10千克的产品Pr_1，目标是最小化总成本，同时满足以下元素含量约束：

• 10千克Pr_1中铜含量：0.00g ≤ 总铜量 ≤ 1.2g
• 10千克Pr_1中镁含量：1.2g ≤ 总镁量 ≤ 1.9g
• 10千克Pr_1中nc含量：0g（完全不含）
• 所有物料重量非负

线性规划模型 #

目标函数（最小化总成本） #

设x_A、x_B、x_C分别为Pr_1中物料A、B、C的重量（千克），目标函数为：

min 1000*x_A + 1500*x_B + 1700*x_C

约束条件 #

1. 铜含量约束：

   0 ≤ 0.02*x_A + 0.033*x_B + 0.05*x_C ≤ 1.2
   

2. 镁含量约束：

   1.2 ≤ 0.3*x_A + 0.2*x_B + 0.35*x_C ≤ 1.9
   

3. nc含量约束（等式）：

   0.005*x_A = 0 → x_A = 0
   

4. 总重量约束（等式）：

   x_A + x_B + x_C = 10
   

5. 非负约束：

   x_A ≥ 0, x_B ≥ 0, x_C ≥ 0
   

Scipy linprog的正确实现 #

Scipy的linprog默认处理最小化问题，约束分为三类：不等式约束（A_ub @ x ≤ b_ub）、等式约束（A_eq @ x = b_eq）、变量边界（bounds）。需注意原代码的两处错误：将等式约束误设为不等式，遗漏总重量约束。

完整代码 #

from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数（各物料单价）
c = [1000, 1500, 1700]

# 不等式约束矩阵A_ub：转换为"≤"形式
A_ub = [
    [0.02, 0.033, 0.05],    # 铜上限：0.02x_A + 0.033x_B + 0.05x_C ≤ 1.2
    [-0.02, -0.033, -0.05], # 铜下限：0 ≤ ... → 等价于 -0.02x_A -0.033x_B -0.05x_C ≤ 0
    [0.3, 0.2, 0.35],       # 镁上限：0.3x_A + 0.2x_B + 0.35x_C ≤ 1.9
    [-0.3, -0.2, -0.35]     # 镁下限：1.2 ≤ ... → 等价于 -0.3x_A -0.2x_B -0.35x_C ≤ -1.2
]

# 不等式约束右侧b_ub
b_ub = [1.2, 0, 1.9, -1.2]

# 等式约束矩阵A_eq
A_eq = [
    [0.005, 0, 0],  # nc含量约束：0.005x_A = 0
    [1, 1, 1]       # 总重量约束：x_A + x_B + x_C = 10
]

# 等式约束右侧b_eq
b_eq = [0, 10]

# 变量边界：所有物料重量≥0
x_bounds = (0, None)
bounds = [x_bounds, x_bounds, x_bounds]

# 求解线性规划（推荐使用highs方法）
result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs')

# 输出结果
print("最优物料重量（千克）：")
print(f"物料A: {result.x[0]:.4f}")
print(f"物料B: {result.x[1]:.4f}")
print(f"物料C: {result.x[2]:.4f}")
print(f"最小总成本（美元）：{result.fun:.2f}")
print(f"求解状态：{'成功' if result.success else '失败'}")
if not result.success:
    print(f"失败原因：{result.message}")

结果说明 #

由于nc约束强制x_A=0，最优解仅由物料B和C组成。代码会自动计算满足所有约束的最低成本组合，确保总重量为10千克且元素含量符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ali Majed HA