求N位数字的不同数位排列数算法（N≤18）

核心公式 #

当数字里存在重复数位时，不同排列的总数用以下公式计算：
总排列数 = N! / (k₁! × k₂! × ... × kₘ!)
参数说明：

• N 是数字的总位数
• k₁, k₂, ..., kₘ 是每个重复数位的出现次数（仅统计出现次数≥2的数位即可，因为1!等于1，乘入后不影响结果）

实际例子 #

举两个直观的例子：

• 你提到的214：所有数位无重复，每个数位出现1次，分母为1!×1!×1! = 1，结果为3! / 1 = 6，和预期一致。
• 再比如数字1122：总位数N=4，1出现2次，2出现2次，分母是2!×2! = 2×2=4，总排列数为4! /4 = 24/4=6，对应的排列是1122、1212、1221、2112、2121、2211。

具体实现步骤 #

1. 统计数位出现次数：将数字拆分为单个数位，统计0-9每个数字的出现频次。
2. 计算总阶乘：算出N的阶乘（N≤18时，18!为6402373705728000，64位整数可容纳，Python无需担心溢出问题）。
3. 计算分母乘积：对每个出现次数大于1的数位，计算其出现次数的阶乘，再将所有这些阶乘相乘。
4. 得出结果：用总阶乘除以分母乘积，得到不同排列的数量。

特殊情况处理 #

如果题目要求排列后的数必须是合法N位数（不能以0开头），需额外调整：

• 先按公式算出包含前导零的所有排列数
• 计算以0开头的非法排列数：将0固定在第一位，剩余N-1位用同样公式计算排列数
• 最终合法排列数 = 总排列数 - 非法排列数

内容的提问来源于stack exchange，提问作者K123