在Magma中构造微分域Q(x, log x, log(log x))的问题求助

问题现象 #

想要构造微分域$\mathbb{Q}(x, \log x, \log(\log x))$，执行以下代码：

> F<x> := RationalDifferentialField(RationalField());
> G<ln> := LogarithmicFieldExtension(F, 1/x);
> L<lln> := LogarithmicFieldExtension(G, G!(1/(x*ln)));

结果不符合预期：lln的导数被错误设置为与ln的导数一致，且二者被判定为相等：

> Derivative(lln);
1/x
> lln eq ln;
true

类似地，构造$\mathbb{Q}(x, \log(x+1), \log(x-1))$时，分步扩展的第二个生成器导数始终与首个扩展生成器的导数一致。

源码排查与部分可行尝试 #

查看Magma源码package/Ring/RngDiff/RngDiff.m后发现，LogarithmicFieldExtension底层调用的是DifferentialRingExtension。

构造$\mathbb{Q}(x, \log(x+1), \log(x-1))$时，一次性扩展两个生成器可以正常工作：

> P := PolynomialRing(F, 2);
> G<ln1, ln2> := DifferentialRingExtension([P | 1/(x-1), 1/(x+1)]);
> Derivative(ln1); Derivative(ln2);
1/(x - 1)
1/(x + 1)

但**分两次调用DifferentialRingExtension**时，依然会出现和LogarithmicFieldExtension相同的问题：

> G := DifferentialRingExtension([PolynomialRing(F, 1) | 1/(x+1)]);
> L := DifferentialRingExtension([PolynomialRing(G, 1) | 1/(x-1)]);
> BaseRing(L) eq G;
true
> L.1 eq G.1;
true

核心限制 #

DifferentialRingExtension要求输入必须是*[RngMPolElt]*类型，这导致无法构造嵌套对数$\log(\log x)$——因为第二个对数的导数是$1/(x \cdot \log x)$，需要引用已有扩展域中的生成元ln，无法用基础域上的多元多项式元素来描述。

疑问 #

• 使用DifferentialRingExtension进行分步构造时，是否存在操作错误？
• 若这是Magma的bug，有没有可行的绕过方法来构造$\mathbb{Q}(x, \log x, \log(\log x))$？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mitchell Holt