如何使用R语言计算给定范数的对偶范数？

对偶范数的定义为：

||y||* = \max{x} x^Ty : ||x|| ≤ 1

具体实现分两种场景：

一、常见范数：直接用解析公式 #

对于有明确对偶关系的标准范数，无需优化，直接计算即可：

• L1范数的对偶是L∞范数：max(abs(y))
• L2范数的对偶仍是L2范数：norm(y, type = "2") 或 sqrt(sum(y^2))
• Lp范数（p>1）的对偶是Lq范数（q = p/(p-1)）：sum(abs(y)^q)^(1/q)

二、自定义范数：用约束优化求解 #

如果你的范数是自定义的（无解析对偶公式），可以通过约束优化求解，以下是两种常用方法：

方法1：使用nloptr包（支持非线性约束） #

nloptr提供了多种非线性优化算法，适合处理自定义范数的约束：

# 加载包
library(nloptr)

# 定义自定义范数（示例：L1 + L∞范数）
norm_custom <- function(x) {
  max(abs(x)) + sum(abs(x))
}

# 目标函数：最大化x^Ty等价于最小化 -x^Ty
eval_f <- function(x, y) {
  -sum(x * y)
}

# 不等式约束：||x|| ≤ 1 → norm_custom(x) - 1 ≤ 0
eval_g_ineq <- function(x) {
  norm_custom(x) - 1
}

# 初始化x：取满足范数约束的初始向量
y <- c(1, 2, 3) # 示例输入y
init_x <- rep(1, length(y))
init_x <- init_x / norm_custom(init_x)

# 优化参数设置（COBYLA算法适合无导数非线性约束）
opts <- list(
  algorithm = "NLOPT_LN_COBYLA",
  xtol_rel = 1e-8,
  maxeval = 1000
)

# 运行优化
result <- nloptr(
  x0 = init_x,
  eval_f = eval_f,
  eval_g_ineq = eval_g_ineq,
  opts = opts,
  y = y
)

# 提取对偶范数
dual_norm <- -result$objective

方法2：使用constrOptim（适合线性约束场景） #

如果自定义范数对应的约束是线性的，可以用基础包中的constrOptim：

# 目标函数
obj_fun <- function(x, y) {
  -sum(x * y)
}

# 线性约束示例：假设||x||是L1范数（sum(abs(x)) ≤1），拆分为线性不等式约束
y <- c(1, 2, 3)
n <- length(y)
ui <- rbind(diag(n), -diag(n), rep(1, n))
ci <- c(rep(1, 2*n), 1)

# 初始值
init_x <- rep(0, n)

# 运行优化
result <- constrOptim(
  theta = init_x,
  f = obj_fun,
  grad = NULL, # 用数值梯度
  ui = ui,
  ci = ci,
  y = y
)

# 对偶范数
dual_norm <- -result$value

注意：如果自定义范数是凸函数，对偶问题也是凸优化问题，选择凸优化算法（如上述的COBYLA）能保证找到全局最优解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sparsity