如何在Python中将拟合生成的函数转为数学表达式并进行求导等运算——以Scipy curve_fit高斯拟合为例

看起来你已经成功用scipy.curve_fit完成了高斯函数对散点的拟合，现在要搞定拟合后高斯函数的各阶导数，其实可以分两种方式来做：手动推导表达式实现，或者用符号计算工具自动生成，下面给你详细说：

先明确你的拟合高斯函数 #

你定义的高斯函数是：

def gaus(x,a,x0,sigma):
    return a*np.exp(-(x-x0)**2/(2*sigma**2))/(sigma*np.sqrt(2*np.pi))

用数学表达式写出来就是：
$$g(x) = \frac{a}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{{-\frac{(x-x_0)}2}{2\sigma^2}}$$
其中a, x0, sigma是你通过curve_fit得到的拟合参数（也就是popt里的三个值）。

手动推导低阶导数（一阶、二阶） #

一阶导数 #

用链式法则对x求导：
指数部分的导数是 $-\frac{x-x_0}{\sigma^2}$，再乘以原函数，所以一阶导数表达式为：
$$g'(x) = g(x) \cdot \left( -\frac{x-x_0}{\sigma^2} \right)$$
对应的Python函数可以这么写：

def gaus_deriv1(x, a, x0, sigma):
    original = gaus(x, a, x0, sigma)
    return original * (-(x - x0) / (sigma**2))

二阶导数 #

对一阶导数再求导，用乘积法则展开后整理，得到：
$$g''(x) = g(x) \cdot \left( \frac{(x-x_0)^2}{\sigma4} - \frac{1}{\sigma^2} \right)$$
对应的Python函数：

def gaus_deriv2(x, a, x0, sigma):
    original = gaus(x, a, x0, sigma)
    term = ((x - x0)**2)/(sigma**4) - 1/(sigma**2)
    return original * term

高阶导数（三阶及以上） #

手动推导高阶导数容易出错，推荐用sympy符号计算库自动推导，步骤如下：

1. 先定义符号变量和符号形式的高斯函数
2. 调用sp.diff()求任意阶导数
3. 转换成numpy可调用的函数，直接用于你的数组计算

代码示例：

import sympy as sp
import numpy as np

# 定义符号变量
x_sym, a_sym, x0_sym, sigma_sym = sp.symbols('x a x0 sigma')

# 定义符号版高斯函数
gaus_sym = (a_sym / (sigma_sym * sp.sqrt(2*sp.pi))) * sp.exp(-(x_sym - x0_sym)**2 / (2*sigma_sym**2))

# 求一阶导数并转成可调用函数
deriv1_sym = sp.diff(gaus_sym, x_sym)
gaus_deriv1 = sp.lambdify((x_sym, a_sym, x0_sym, sigma_sym), deriv1_sym, 'numpy')

# 求二阶导数并转成可调用函数
deriv2_sym = sp.diff(gaus_sym, x_sym, 2)
gaus_deriv2 = sp.lambdify((x_sym, a_sym, x0_sym, sigma_sym), deriv2_sym, 'numpy')

# 求n阶导数（比如三阶）
n = 3
derivn_sym = sp.diff(gaus_sym, x_sym, n)
gaus_derivn = sp.lambdify((x_sym, a_sym, x0_sym, sigma_sym), derivn_sym, 'numpy')

使用示例 #

用你拟合得到的popt参数，计算x对应的导数数组：

# 提取拟合参数
a_fit, x0_fit, sigma_fit = popt

# 计算一阶导数数组
deriv1_array = gaus_deriv1(x, a_fit, x0_fit, sigma_fit)

# 计算三阶导数数组
deriv3_array = gaus_derivn(x, a_fit, x0_fit, sigma_fit)

这样不管是低阶还是高阶导数，都能轻松搞定啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者imnw_058