Goertzel算法中为何要将参数k取整为整数？

在Goertzel算法里，参数k的定义是k = (目标频率 / 采样频率) × bin size，必须取整为最接近的整数，核心原因和算法的本质、数学基础直接相关：

• k是DFT的离散频点索引，必须为整数
  Goertzel算法本质是离散傅里叶变换（DFT）的一种高效实现，专门用于计算单个或少数几个频点的能量。DFT的频点是离散的，每个整数k对应一个固定的频率：f_k = k × f_s / N（其中f_s是采样频率，N是bin size）。这里的k本身就是频点的索引，天然要求是整数，不存在非整数的DFT频点。

• 取整是为了匹配最接近目标频率的DFT频点
  实际检测的目标频率（比如DTMF的标准频率）不一定刚好等于某个DFT频点的频率值。对k取整，就是在离散的DFT频点中选择最接近目标频率的那个，这样算法才能精准计算该频点的能量，保证频率检测的准确性。如果用非整数k，算法的递推公式会失去数学依据，无法正确得到对应频点的能量值。

• 余弦运算的浮点属性不影响k的整数要求
  虽然最终计算cos(2π×k/bin size)得到的是浮点值，但这个余弦值是Goertzel递推公式中的系数，而递推公式的推导完全基于整数k的DFT定义。非整数k会导致递推过程中的相位积累出现偏差，最终无法正确提取目标频率的能量，和余弦运算的精度没有关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Camilla W