如何求过指定点且与已知直线垂直的线段长度？

一、求已知直线的方程与斜率 #

已知直线由A(0,0)、B(4,1)确定：

• 直线AB的斜率：m₁ = (1-0)/(4-0) = 1/4
• 直线AB的方程（斜截式）：y = (1/4)x，整理为标准式：x - 4y = 0

二、求过指定点的垂直直线方程 #

非垂直/水平的两条垂直直线斜率乘积为-1，因此垂直于AB的直线斜率：
m₂ = -1/m₁ = -4
指定点为C(-1,2)，用点斜式写出垂直直线方程：
y - 2 = -4(x + 1)
整理为标准式：4x + y + 2 = 0

三、求两条直线的交点（垂足） #

联立直线AB与垂直直线的方程：

x - 4y = 0
4x + y = -2

将x = 4y代入第二个方程，解得：
y = -2/17，x = -8/17
即垂足D的坐标为(-8/17, -2/17)

四、计算线段长度（点到直线的距离） #

方法1：两点间距离公式 #

利用点C(-1,2)和垂足D(-8/17, -2/17)的坐标计算：

CD = √[(-1 - (-8/17))² + (2 - (-2/17))²]
    = √[(-9/17)² + (36/17)²]
    = √[(81 + 1296)/289]
    = 9√17/17

方法2：点到直线的距离公式（更快捷） #

对于直线Ax + By + C = 0，点(x₀,y₀)到直线的距离公式为：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
代入直线AB的标准式x - 4y = 0和点C(-1,2)：

d = |1*(-1) + (-4)*2 + 0| / √(1² + (-4)²)
  = |-9| / √17
  = 9√17/17

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jan Hrubec