圆在等腰三角形内移动时的三角形顶边长度计算方法

定义变量 #

先明确已知几何量：

• H：等腰三角形的总高度（顶点到底边的垂直距离）
• r：内切圆的半径
• d：三角形顶点到圆心的垂直距离（圆心位于三角形中垂线上，即题目所述“圆在三角形内的高度”）
• L：待求解的三角形顶边长度

几何推导（相似三角形法） #

1. 等腰三角形的中垂线（顶点到底边中点的垂线）为对称轴，圆心始终在这条线上。
2. 从圆心向三角形任意一条腰作垂线，长度等于圆半径r（圆与腰相切的性质）。
3. 由顶点、圆心、切点组成的直角三角形，与由顶点、底边中点、底边端点组成的直角三角形相似（共享顶角，且均为直角三角形）。

结合三角函数与相似比例推导：
设顶角的一半为α，可得：

• 小直角三角形中：sinα = r / d
• 大直角三角形中：sinα = (L/2) / √(H² + (L/2)²)

联立等式并化简：

r/d = (L/2) / √(H² + (L/2)²)

平方后交叉相乘整理，最终得到顶边长度公式：

L = (2 * r * H) / √(d² - r²)

规律验证 #

• 圆向上移动时，d减小，分母√(d² - r²)变小，L随之缩小，符合三角形缩小的要求；
• 圆向下移动时，d增大，分母变大，L随之增大，匹配三角形放大的需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KeepCool