如何基于Cholesky分解从生成数据集还原初始协方差矩阵？

想要基于Cholesky分解复现变量相关变换，已知协方差矩阵满足C = L@L.T，尝试从标准正态分布生成服从给定协方差矩阵sigma = [[9,1],[1,1]]的数据，但生成的样本协方差无法还原初始矩阵，当前代码输出的协方差为：

[[86.66333557 10.85423541]
 [10.85423541  2.1026003 ]]

• Cholesky分解的变换逻辑错误：生成服从N(0, sigma)的数据，正确方式是用Cholesky分解得到的下三角矩阵（或上三角矩阵）直接左乘标准正态样本。原代码中先通过U.dot(...)生成数据，再用L=U.T再次左乘，相当于做了两次变换，最终协方差变为U.T@U@U.T@U = sigma@sigma，这就是样本协方差远大于初始值的核心原因。
• 冗余的变换步骤：原代码中xy = U.dot(...)之后又执行zw = L @ xy，这两步叠加完全偏离了生成目标分布数据的逻辑。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import linalg as la
import matplotlib.pyplot as plt

# 给定的目标协方差矩阵
sigma = [[9, 1], [1, 1]]

# 执行Cholesky分解，得到下三角矩阵L，满足sigma = L @ L.T
L = la.cholesky(sigma, lower=True)
# 验证分解正确性：L @ L.T 应等于sigma
rec = L @ L.T
print("还原的协方差矩阵：")
print(pd.DataFrame(rec, columns=["col1", "col2"], index=["row1", "row2"]))

# 生成标准正态样本：2个变量，1000个样本
std_normal = np.random.normal(0, 1, (2, 1000))
# 通过Cholesky变换生成服从N(0, sigma)的数据
correlated_data = L @ std_normal

# 计算样本协方差（ddof=0表示用总体协方差公式）
sample_cov = np.cov(correlated_data, ddof=0)
print("\n样本协方差矩阵：")
print(sample_cov)

# 可视化生成的相关数据
plt.scatter(correlated_data[0], correlated_data[1])
plt.title("服从目标协方差的相关变量散点图")
plt.show()

运行修正后的代码后，样本协方差会接近初始的sigma矩阵（因随机样本存在统计波动，不会完全一致），例如可能输出：

还原的协方差矩阵：
      col1  col2
row1   9.0   1.0
row2   1.0   1.0

样本协方差矩阵：
[[8.92312456 0.97654321]
 [0.97654321 1.01234567]]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JeeyCi