如何在多维NumPy数组中求解二维方阵的厄米特矩阵

给定形状为(3, 2, 2, 2)的NumPy数组F，其中前两个维度代表类别条目，最后两个维度对应2×2的二维方阵。需要对每个2×2方阵计算其厄米特矩阵，且输出数组的形状需与原数组保持一致（(3, 2, 2, 2)）。

输入示例代码 #

import numpy as np
F = np.array([[[[  1+2.j, 2-1.j],[1+2.j, 2-1.j]],
               [[  0,  2+1.j],[0, 3-1.j]]],
              [[[  1+2.j, 2-1.j],[ 1+2.j, 2-1.j]],
               [[  0,  2+1.j],[ 0, 3-1.j]]],
              [[[  1+2.j, 2-1.j],[ 1+2.j, 2-1.j]],
               [[  0,  2+1.j],[ 0, 3-1.j]]]])

期望输出示例 #

F_Herm = np.array([[[[  1-2.j, 1-2.j],[2+1.j, 2+1.j]],
                    [[  0,  0],[2-1.j, 3+1.j]]],
                   [[[  1-2.j, 1-2.j],[2+1.j, 2+1.j]],
                    [[  0,  0],[ 2-1.j, 3+1.j]]],
                   [[[  1-2.j, 1-2.j],[ 2+1.j, 2+1.j]],
                    [[  0,  0],[2-1.j, 3+1.j]]]])

解决方案 #

厄米特矩阵是矩阵的共轭转置，即先对矩阵转置，再对每个元素取复数共轭。针对多维数组，只需对最后两个维度（对应2×2方阵）执行转置操作，再整体取共轭即可：

import numpy as np

# 输入数组
F = np.array([[[[ 1+2.j, 2-1.j],[1+2.j, 2-1.j]],
               [[ 0, 2+1.j],[0, 3-1.j]]],
              [[[ 1+2.j, 2-1.j],[1+2.j, 2-1.j]],
               [[ 0, 2+1.j],[0, 3-1.j]]],
              [[[ 1+2.j, 2-1.j],[1+2.j, 2-1.j]],
               [[ 0, 2+1.j],[0, 3-1.j]]]])

# 计算每个2×2方阵的厄米特矩阵
F_Herm = np.conj(F.transpose(0, 1, 3, 2))

# 验证输出形状
print(F_Herm.shape)  # 输出: (3, 2, 2, 2)

代码说明 #

• F.transpose(0, 1, 3, 2)：保持前两个维度（索引0和1）不变，交换最后两个维度（索引2和3），实现每个2×2方阵的转置。
• np.conj()：对转置后的数组中所有复数元素取共轭，得到厄米特矩阵。
• 最终输出数组的形状与原数组完全一致，符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者learning statistics