滤波器方程转频率响应：实现区间积分响应函数求助

注：部分问题已解决，保留原文以保证清晰性。

有人说这对滤波器设计师来说“应该很简单”，但我不确定，还是来求助:)

我需要基于这些方程构建一个函数，输入频率范围，输出滤波器在该范围内的积分响应：

float filter_response(float f_low, float f_high) {
  return {magic};
}

滤波器的频率响应已知：

目标函数的预期输出可通过以下验证表格确认：

其中𝑓c为中心频率，𝑓low-𝑓high为频率范围，output为预期输出。仅𝑓c是从原表格转录的，𝑓low-𝑓high由我计算得出，代表给定“中点”频率的1/3倍频程范围。我提供这些数据是为了清晰展示其与目标函数的直接关联。

我有这些数据，虽然确定可以解决，但也明白这可能超出在线求助的预期范围（除非真的像别人说的那么简单）。

无论如何，任何方向上的指导都将不胜感激。

谢谢<3

由于我既不是滤波器设计师，也不太精通数学，我主要尝试从图表中提取数据或对表格中的给定值进行插值。这目前可行，但无法达到我想要的准确性和可信度。我能读懂几乎任何语言的代码，并且对FIR和IIR滤波器有相当的了解。

我尝试用Python、SciPy、Numpy基于给定的滤波器常数设计滤波器，以复现给定的响应曲线，但未成功。

我还尝试用AI工具帮我梳理这些公式，用符合我有限领域知识的术语描述滤波器，但它们似乎完全无法处理这个问题。

最终，我期望能用几种不同的方法解决这个问题。虽然能进行数值计算的函数是最优解，但理论上我也可以分析FFT/FIR滤波器来生成所需范围和精度的新表格。

更新1 #

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# constants
pi, f_1, f_2, Q_1, f_3, f_4, Q_2, K = math.pi, 6.31, 1258.9, 0.71, 15.915, 15.915, 0.64, 1    

# band-limiting transfer function
def band_limit(s):
    return ((s**2)*4*(pi**2)*(f_2**2))/(((s**2)+2*pi*f_1*s/Q_1+4*(pi**2)*(f_1**2))*((s**2)+2*pi*f_2*s/Q_1+4*(pi**2)*(f_2**2)))

# frequency-weighting transfer function
def frequency_weight(s):
    return ((s+2*pi*f_3)*2*pi*K*(f_4**2))/(((s**2)+2*pi*f_4*s/Q_2+4*(pi**2)*(f_4**2))*f_3)

px, py, py1, py2 = [], [], [], []

for x in np.arange(1,1000,0.1):
    w = x*2*pi # angular frequency
    px.append(x)
    py1.append(band_limit(w))
    py2.append(frequency_weight(w))
    py.append(band_limit(w)*frequency_weight(w))

plt.plot(px, py1, label = "band-limit filter")
plt.plot(px, py2, label = "frequency-weighting filter")
plt.plot(px, py, label = "total")
plt.yscale("log");
plt.xscale("log");
plt.ylim(0.01, 1);
plt.xlim(1, 1000);
plt.legend()
plt.show()

这个Python程序生成了以下图表：

我将其与原图叠加进行比较。图表不匹配，但看起来并非完全不同，这说明我的方向是对的。是否可以使用纯实值函数计算每个频率的幅度响应，还是我得到的误差是由于未使用复数计算导致的？

更新2 #

显然必须使用复数数学计算，如下列Python代码和图表所示（几乎完美匹配）：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cmath

# constants
pi, f_1, f_2, Q_1, f_3, f_4, Q_2, K = math.pi, 6.31, 1258.9, 0.71, 15.915, 15.915, 0.64, 1    

# band-limiting transfer function
def band_limit(s):
    z = ((s**2)*4*(pi**2)*(f_2**2))/(((s**2)+2*pi*f_1*s/Q_1+4*(pi**2)*(f_1**2))*((s**2)+2*pi*f_2*s/Q_1+4*(pi**2)*(f_2**2)))
    return math.sqrt(z.real**2+z.imag**2)

# frequency-weighting transfer function
def frequency_weight(s):
    z = ((s+2*pi*f_3)*2*pi*K*(f_4**2))/(((s**2)+2*pi*f_4*s/Q_2+4*(pi**2)*(f_4**2))*f_3)
    return math.sqrt(z.real**2+z.imag**2)

px, py, py1, py2 = [], [], [], []


for x in np.arange(1,1259.9,0.1):
    w = x*2*pi # angular frequency
    px.append(x)
    py1.append(band_limit(complex(1.0,w)))
    py2.append(frequency_weight(complex(1.0,w)))
    py.append(band_limit(complex(1.0,w))*frequency_weight(complex(1.0,w)))

plt.plot(px, py1, label = "band-limit filter")
plt.plot(px, py2, label = "frequency-weighting filter")
plt.plot(px, py, label = "total")
plt.yscale("log");
plt.xscale("log");
plt.ylim(0.01, 1);
plt.xlim(1, 1259.9);
plt.legend()
plt.show()

剩下的唯一问题是，如何对该频响函数进行区间积分，以生成最初要求的函数，使其能够输出验证表格中的结果？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ronald McFüglethorn