分段边界被圆包围部分与外围圆的平均距离求解

问题背景 #

现有由直线段和圆弧组成的任意2D闭合轮廓，与已知半径和位置的圆相交。需求解轮廓被圆包围部分与该外围圆的平均距离，定义规则如下：

• 想象一条径向线绕外围圆扫过，当扫过圆内部区域时与轮廓相交，外围圆边界到轮廓交点的距离即为该角度下的高度h(θ)
• 需计算被包围轮廓在所有相交角度范围内的平均高度，而非单点高度
• 当前基于Python开发，需满足实时系统的多次快速计算要求

已尝试方案 #

将直线或圆弧转换为极坐标形式获取径向距离：

• 对于过点(xᵢ, yᵢ)、斜率为m的直线，极坐标形式为：

  r = (yᵢ - m xᵢ) / (sin(θ) - m cos(θ))
  

  对应高度为h(θ) = R - r（R为外围圆半径）
• 平均高度的数学表达为：

  平均高度 = 1/(b-a) ∫ₐᵇ (R - r) dθ
  

• 现存问题：直线的积分解析解包含大量三角函数运算与平方根，圆弧的方程更为复杂。多次计算解析解无法满足实时系统的速度要求。

需求 #

寻找无需大量数值积分的直线/圆弧通用求解方案，兼顾计算速度与精度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fifteen12