Sympy求解三次方程结果含虚数且验证不成立，问题出在哪？

问题核心 #

你遇到的情况是：三次方程x³-3x+1=0明明有三个实根（从图像可看出），但Sympy返回的解包含虚数单位I，且直接代入原方程后没有得到0。

原因解析 #

1. 不可约三次方程的根式解特性
   对于三次方程x³ + px + q = 0，当判别式D = (q/2)² + (p/3)³ < 0时，方程属于不可约三次方程。此时用卡丹公式（Sympy默认的根式解法）得到的解会包含复数形式，但这些复数表达式的虚部最终会相互抵消，结果其实是实数。
   对你的方程来说，p=-3，q=1，计算得D=(1/2)² + (-3/3)³ = 1/4 - 1 = -3/4 < 0，符合不可约三次方程的条件，所以解的表达式里会出现虚数。

2. 代入后未自动化简
   Sympy直接代入后输出的是未化简的复杂表达式，并非真的不等于0，只是没有自动完成代数化简。这类包含复数立方根的表达式需要手动触发化简操作才能得到0。

验证与解决方法 #

要验证解的正确性，只需对代入后的结果调用Sympy的simplify()或nsimplify()函数：

from sympy import *
from sympy.abc import x

f = x**3 - 3*x + 1
res = solve(f)
# 验证第一个解
print(simplify(f.subs(x, res[0])))  # 输出0
# 或者用数值验证
print(N(res[0]))  # 输出约1.53209，代入原方程计算接近0

补充：获取显式实根 #

如果想要直接得到不含虚数的实根表达式，可以用real_roots()方法：

real_res = real_roots(f)
print(real_res)
# 输出：[CRootOf(x**3 - 3*x + 1, 0), CRootOf(x**3 - 3*x + 1, 1), CRootOf(x**3 - 3*x + 1, 2)]
# 如需数值结果，用N()转换
print([N(r) for r in real_res])
# 输出：[1.53208888623796, -1.87938524157182, 0.347296355333861]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucy