为何Arima()中均值选择是否需显式设置取决于季节性成分是否差分？

先看两段对比代码及运行结果：

第一段代码（带季节性差分） #

Arima(ts(rnorm(100), freq=4), order=c(1,0,1), seasonal=c(1,1,1), 
                              fixed = c(phi=0.5, theta=-0.4, Phi=0.3, Theta=-0.2))

运行结果：

Series: ts(rnorm(100), freq = 4) 
ARIMA(1,0,1)(1,1,1)[4] 

Coefficients:
 ar1   ma1  sar1  sma1  
 0.5  -0.4   0.3  -0.2  

sigma^2 = 2.045:  log likelihood = -170.59
AIC=343.18   AICc=343.22   BIC=345.74

第二段代码（无季节性差分） #

Arima(ts(rnorm(100), freq=4), order=c(1,0,1), seasonal=c(1,0,1), 
                              fixed = c(phi=0.5, theta=-0.4, Phi=0.3, Theta=-0.2))

运行错误：

Error in stats::arima(x = x, order = order, seasonal = seasonal, include.mean = include.mean,  : 
  wrong length for 'fixed'

核心原因解析 #

Arima()默认设置include.mean = TRUE，但这个参数是否实际生效，完全取决于序列的差分配置：

• 当序列存在**季节性差分（D≥1）或普通差分（d≥1）**时，差分操作会消除序列的均值趋势，此时模型会自动忽略include.mean参数，不会在模型中加入均值项。第一段代码里季节性差分D=1，所以模型只包含4个系数（ar1、ma1、sar1、sma1），和传入的fixed参数长度匹配，运行正常。
• 当序列**无任何差分（d=0且D=0）**时，include.mean = TRUE会让模型额外增加一个均值系数，此时模型总系数数量为AR项+MA项+季节性AR项+季节性MA项+1（均值），也就是5个。但第二段代码的fixed参数只给了4个，长度不匹配，因此触发错误。

如果要让第二段代码正常运行，要么显式设置include.mean = FALSE，要么在fixed参数中多加入一个均值的固定值（比如fixed = c(phi=0.5, theta=-0.4, Phi=0.3, Theta=-0.2, mean=0)）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antoni Parellada