用迭代误差递增判断线性方程组迭代法发散的方法是否可行？

你提出的**“若当前迭代残差err^i大于上一次残差err^i-1则判定发散”**的方法并不可靠，无法作为通用的发散判定依据，具体原因如下：

• 迭代残差可能存在短暂波动：即使迭代最终收敛，初期阶段也可能出现残差短暂上升的情况。比如部分非严格对角占优但收敛的矩阵，迭代过程中残差会先有小幅度增大，之后逐步下降至收敛阈值。
• 残差与解的收敛性并非严格对应：你定义的err = A * x^i - b是残差，残差的大小变化和迭代解x^i的收敛性没有严格的单调关联。有些场景下，残差增大时，x^i其实正在逼近真实解，只是残差的变化滞后于解的收敛进程。
• 缺乏数学严谨性支撑：迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1，仅通过单次残差的增减无法反映迭代矩阵的本质特性，很容易将收敛的迭代误判为发散。

如果想快速判断迭代是否值得继续，更实用的方案是：

• 设置最大迭代次数，超过次数仍未收敛则终止迭代；
• 监控残差的变化趋势，若连续多次（比如3-5次）残差持续增大且无下降迹象，再考虑终止；
• 针对小规模矩阵，直接计算迭代矩阵的谱半径（用数值计算工具如numpy.linalg.eigvals可快速实现），这是最准确的收敛判定方式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者noodle_run