基于List Decision Diagram的多值函数验证问题求助

一、处理输入变量的最大值p约束 #

你的ldd_var目前仅记录变量标识，缺少取值上限信息，首先扩展变量定义以绑定最大值：

Record ldd_var := Var {
  var_car : nat;   (* 变量唯一标识 *)
  var_max : nat    (* 变量的最大允许取值，即p约束 *)
}.

接着定义合法绑定谓词，确保所有变量的取值都不超过其最大值：

Definition valid_bind (vb : var_bind) : Prop :=
  ∀ v : ldd_var, vb v ≤ var_max v.

同时为LDD添加良构性约束，保证所有分支节点的n值符合对应变量的取值范围：

Fixpoint wf_ldd (d : ldd) : Prop :=
  match d with
  | Leaf _ => True
  | Vertex v n down right =>
      n ≤ var_max v ∧ wf_ldd down ∧ wf_ldd right
  end.

后续所有函数验证都基于valid_bind和wf_ldd，确保只处理合法输入和结构正确的LDD。

二、处理n元函数属性 #

当前fun_inclusive是全变量函数，但n元函数仅依赖有限个指定变量，可通过以下方式处理：

1. 定义n元函数类型 #

直接对应n个变量的取值列表到输出：

Definition n_ary_fun (n : nat) : Type := list nat → bool.

2. 建立与fun_inclusive的映射 #

给定n个变量的列表vs（长度为n），将n元函数转换为fun_inclusive：

Definition n_ary_to_fun_inclusive (vs : list ldd_var) (f : n_ary_fun (length vs)) : fun_inclusive :=
  fun vb => f (map (fun v => vb v) vs).

反过来，从fun_inclusive提取n元函数（仅关注指定变量）：

Definition fun_inclusive_to_n_ary (vs : list ldd_var) (fi : fun_inclusive) : n_ary_fun (length vs) :=
  fun vals => fi (fun v =>
    match find (fun (v' : ldd_var) => eq_dec v v' = left eq_refl) vs with
    | Some idx => nth idx vals 0  (* 假设vals长度与vs一致 *)
    | None => 0  (* 非目标变量取默认值，不影响结果 *)
    end).

3. 验证函数的有限依赖属性 #

定义谓词描述函数仅依赖指定变量：

Definition depends_on_vars (fi : fun_inclusive) (vs : list ldd_var) : Prop :=
  ∀ vb1 vb2 : var_bind,
    (∀ v ∈ vs, vb1 v = vb2 v) → fi vb1 = fi vb2.

对LDD添加良构约束，确保其仅使用指定变量：

Fixpoint ldd_uses_only_vars (d : ldd) (vs : list ldd_var) : Prop :=
  match d with
  | Leaf _ => True
  | Vertex v n down right =>
      v ∈ vs ∧ ldd_uses_only_vars down vs ∧ ldd_uses_only_vars right vs
  end.

后续可证明：若LDD满足ldd_uses_only_vars vs，则其提取的fun_inclusive满足depends_on_vars vs，即对应n元函数。

三、证明Shannon展开与LDD路径选择等价性 #

首先统一LDD的求值逻辑与fun_inclusive的输出类型（你的Leaf当前是Prop，建议改为bool以匹配fun_inclusive的输出）：

1. 修正LDD定义与求值函数 #

Inductive ldd := 
    | Vertex (v : ldd_var) (n : nat) (down_edge: ldd) (right_edge: ldd)
    | Leaf (val: bool).

Fixpoint eval_ldd (d : ldd) (vb : var_bind) : bool :=
  match d with
  | Leaf b => b
  | Vertex v n down right =>
      if eq_dec (vb v) n then eval_ldd down vb else eval_ldd right vb
  end.

2. 证明update操作的基础性质 #

先证几个辅助引理，为后续等价性证明铺路：

(* 更新后的绑定仍合法 *)
Lemma update_valid : ∀ vb v n, valid_bind vb → n ≤ var_max v → valid_bind (update vb v n).
Proof.
  intros vb v n Hvalid Hn.
  unfold valid_bind, update. intros u.
  destruct (eq_dec v u) as [Heq | Hneq]; auto.
Qed.

(* 更新后目标变量取值为指定值 *)
Lemma update_same_var : ∀ vb v n, (update vb v n) v = n.
Proof.
  intros vb v n. unfold update. rewrite eq_refl; reflexivity.
Qed.

(* 非目标变量取值不变 *)
Lemma update_other_var : ∀ vb v n u, v ≠ u → (update vb v n) u = vb u.
Proof.
  intros vb v n u Hneq. unfold update. rewrite (eq_sym Hneq); reflexivity.
Qed.

3. 基于归纳法证明等价性 #

要证明eval_ldd d vb = fi vb（其中fi是目标fun_inclusive），对LDD结构做归纳：

基例：Leaf节点

当d = Leaf b时，只需验证fi vb = b，这是LDD与目标函数的基础对应关系，可作为验证的前提条件。

归纳步骤：Vertex节点

假设d = Vertex v n down right，且归纳假设成立：

• ∀ vb, valid_bind vb → eval_ldd down vb = fi (update vb v n) （down分支对应变量v取n的约束）
• ∀ vb, valid_bind vb → eval_ldd right vb = fi vb ∧ vb v ≠ n （right分支对应变量v不取n的情况）

需要证明：

∀ vb, valid_bind vb → eval_ldd (Vertex v n down right) vb = fi vb.

展开eval_ldd的定义后，分两种情况讨论：

1. 当vb v = n时：
   eval_ldd ... vb = eval_ldd down vb，结合归纳假设，等于fi (update vb v n)。
   而根据update_same_var，update vb v n的v取值为n，与原vb的v取值一致，因此fi (update vb v n) = fi vb，得证。
2. 当vb v ≠ n时：
   eval_ldd ... vb = eval_ldd right vb，结合归纳假设，等于fi vb，得证。

通过这种结构归纳，可逐步覆盖整个LDD的所有路径，证明其与目标函数的行为完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者someStudentCS