如何通过向量化计算复矩阵的欧氏距离矩阵？

对于给定的S×N型复矩阵X，我们可以通过欧氏距离的代数推导实现完全向量化的距离矩阵计算，替代双层循环，大幅提升大N场景下的运行效率。

推导过程 #

复向量x_i和x_j的欧氏距离平方可展开为：

$$|x_i - x_j|^2 = (x_i - x_j)^H (x_i - x_j) = |x_i|^2 + |x_j|^2 - 2\Re(x_i^H x_j)$$
其中$(\cdot)^H$表示共轭转置，$\Re(\cdot)$表示取实部。

基于这个公式，我们可以拆解为三步完成计算：

1. 计算每个列向量的模长平方：$\|x_i\|^2 = \sum_{k=1}^S |X(k,i)|^2$
2. 构造两两模长平方和的矩阵：每个元素为$\|x_i\|^2 + \|x_j\|^2$
3. 计算共轭内积的实部矩阵，代入公式得到距离平方矩阵，最后开根号得到距离矩阵

向量化代码实现 #

% 计算每个列向量的模长平方
norm_sq = sum(abs(X).^2, 1)';
% 构造两两模长平方和的矩阵
A = norm_sq * ones(1, N);
B = ones(N, 1) * norm_sq';
% 计算共轭内积的实部矩阵
inner_prod = X' * X;
% 计算距离平方矩阵并开根号
D_sq = A + B - 2 * real(inner_prod);
% 处理浮点精度误差导致的极小负值
D_sq(D_sq < 0) = 0;
D = sqrt(D_sq);

代码说明 #

• abs(X).^2计算每个复元素的模平方，sum(...,1)按列求和得到每个列向量的模长平方
• X' * X在MATLAB中对复矩阵自动执行共轭转置乘法，得到的矩阵元素为$x_i^H x_j$
• 最后修正距离平方矩阵的极小负值（由浮点精度误差导致），再开根号得到最终的距离矩阵

正确性验证 #

该代码的计算结果与原循环代码完全一致，且对于大N（如N=1000），向量化实现的运行速度远快于双层循环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jie zhou