求outerSquare旋转A弧度后与innerSquare的最近距离

现有两个方形视图outerSquare和innerSquare，外正方形初始左上角坐标为(x₁,y₁)，内正方形左上角坐标为(x₂,y₂)。未旋转时，外正方形左边界与内正方形左边界的最近距离可直接用x₂ - x₁计算；但外正方形旋转A弧度后边界交叉，就得用下面的方法求解：

先明确关键参数 #

首先得确定外正方形的旋转中心，一般默认是自身几何中心：

• 假设外正方形边长为L₁，初始中心坐标为(x₁ + L₁/2, y₁ + L₁/2)
• 内正方形边长为L₂，中心坐标为(x₂ + L₂/2, y₂ + L₂/2)

核心逻辑：凸多边形最短距离计算 #

正方形属于凸多边形，两个凸多边形的最短距离，是以下三类情况的最小值：

1. 一个多边形的顶点到另一个多边形边的最短距离
2. 两个多边形顶点之间的最短距离
3. 两个多边形边之间的最短距离

具体计算步骤 #

1. 算出外正方形旋转后的四个顶点坐标

绕中心(x₀,y₀)旋转A弧度的坐标变换公式（逆时针为正，顺时针为负）：

x' = (x - x₀) * cos(A) - (y - y₀) * sin(A) + x₀
y' = (x - x₀) * sin(A) + (y - y₀) * cos(A) + y₀

外正方形的四个初始顶点：

• 左上角：(x₁, y₁)
• 右上角：(x₁ + L₁, y₁)
• 右下角：(x₁ + L₁, y₁ + L₁)
• 左下角：(x₁, y₁ + L₁)
  把这四个点代入公式，就能得到旋转后的顶点坐标。

2. 遍历计算所有候选距离

（1）外顶点到内正方形边的距离

把内正方形的四条边看作线段，比如上边是y=y₂，x∈[x₂, x₂+L₂]，右边是x=x₂+L₂，y∈[y₂, y₂+L₂]等。计算点到线段的最短距离规则：

• 先看点在这条线段上的投影是否在线段范围内：在的话取垂直距离；不在的话取点到线段两个端点的距离最小值。

（2）内顶点到外正方形边的距离

用旋转后的外正方形四条线段，按同样方法计算内正方形四个顶点到这些线段的最短距离。

（3）所有顶点间的直线距离

计算外正方形4个顶点和内正方形4个顶点之间的欧氏距离，取其中最小值。

（4）两条边之间的最短距离

对两个正方形的每一组线段，计算它们的最短距离：如果线段相交，距离为0；不相交的话，取其中一条线段的端点到另一条线段的距离最小值。

3. 取最小值得最终结果

把上面所有计算出的距离放在一起，最小的那个就是旋转后两正方形的最近距离。

特殊情况 #

• 如果两个正方形重叠（比如一个顶点在对方内部，或者边相交），直接判定最短距离为0。
• 当旋转角度为0时，这个方法会自动退化为初始的x₂ - x₁（内正方形在外正方形右侧的情况），验证方法有效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parmar Abhishek