如何对2型DCT结果去正交化以匹配scipy默认dctn输出？

你的自定义DCT实现对应的是Scipy中dctn指定norm="ortho"的正交归一化版本，而Scipy默认的dctn（norm=None）没有做归一化处理，只需通过缩放调整即可让结果匹配，有两种简单方式：

方式一：修改自定义DCT矩阵，直接生成非归一化结果 #

调整dct_mat函数的系数，去掉正交归一化的缩放因子，生成标准DCT-II变换矩阵：

import numpy as np
import scipy.fftpack

def dct_mat_non_ortho(data):
    (n, m) = data.shape
    assert(m == n)

    mat = np.zeros((n, n))

    # 第一行无缩放因子
    for i in range(n):
        mat[0][i] = 1.0

    # 其余行使用2倍余弦系数（标准DCT-II无归一化的定义）
    for r in range(1, n):
        for c in range(n):
            mat[r][c] = 2.0 * np.cos((np.pi * (2.0 * float(c) + 1.0) * float(r)) / (2.0 * float(n)))

    return mat

test_data = np.array([
    [13.4, 13.9, 0.1],
    [20.1, -20.3, 88.2],
    [0, 4.2, -53.5]
])

# Scipy默认结果
scipy_result = scipy.fftpack.dctn(test_data)
# 自定义非归一化DCT结果
mat = dct_mat_non_ortho(test_data)
custom_result = np.matmul(np.matmul(mat, test_data), mat.T)

print("Scipy默认结果:")
print(scipy_result)
print("自定义匹配结果:")
print(custom_result)

方式二：对现有正交归一化结果做后处理缩放 #

针对你已经生成的res（正交归一化结果），构造维度缩放向量，对每个元素按位置进行缩放：

n = test_data.shape[0]
# 构造缩放向量：第一个元素为sqrt(n)，其余为sqrt(n/2)
scale = np.zeros(n)
scale[0] = np.sqrt(n)
scale[1:] = np.sqrt(n / 2.0)

# 对正交结果进行缩放，匹配Scipy默认输出
scaled_result = (scale.reshape(-1, 1) * res) * scale.reshape(1, -1)

print("Scipy默认结果:")
print(scipy)
print("缩放后自定义结果:")
print(scaled_result)

原理说明 #

Scipy默认的dctn（norm=None）实现的是标准DCT-II变换，没有施加正交归一化的缩放因子；而你的自定义矩阵是正交归一化版本，两者的差异在于：

• 正交归一化版本对变换矩阵的第一行乘以1/sqrt(n)，其余行乘以sqrt(2/n)
• 标准DCT-II版本第一行无缩放，其余行乘以2

通过反向调整缩放因子，就能让两者结果完全匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Smith