含微分的表达式积分：用SymPy符号求解T(t)的ODE问题

原方程与目标 #

给定常微分方程：
$$\frac{dT}{dt} = \frac{T_0 - T}{\tau}$$

要求先解出$dT$，再通过两边积分的方式符号化求解$T(t)$。

步骤1：整理出含dT的表达式 #

将原方程变形，得到$dT$的表达式：
$$dT = \frac{T_0 - T}{\tau} dt$$

步骤2：分离变量 #

把含$T$的项移至左侧，含$t$的项移至右侧，完成变量分离：
$$\frac{dT}{T_0 - T} = \frac{1}{\tau} dt$$

步骤3：两边积分 #

对等式两侧分别积分，引入积分常数$C$：
$$\int \frac{dT}{T_0 - T} = \int \frac{1}{\tau} dt + C$$

步骤4：计算积分并整理 #

左侧积分结果为$-\ln|T_0 - T|$，右侧为$\frac{t}{\tau} + C$，整理得：
$$-\ln|T_0 - T| = \frac{t}{\tau} + C$$

两边取指数并化简（令$A = e^{-C}$，$A$为常数）：
$$T_0 - T = A e^{-\frac{t}{\tau}}$$

最终得到$T(t)$的通解：
$$T(t) = T_0 - A e^{-\frac{t}{\tau}}$$

步骤5：用初始条件确定常数 #

若给定初始条件$t=0$时$T=T(0)=T_1$，代入通解得：
$$A = T_0 - T_1$$

代入后得到特解：
$$T(t) = T_0 - (T_0 - T_1) e^{-\frac{t}{\tau}}$$

SymPy实现代码 #

import sympy as sp

# 定义符号与函数
t, tau, T0, C = sp.symbols('t tau T0 C')
T = sp.Function('T')(t)

# 原ODE
ode = sp.Eq(sp.diff(T, t), (T0 - T)/tau)

# 整理得到dT的表达式
dT_expr = sp.Eq(sp.diff(T, t)*sp.dt(t), (T0 - T)/tau * sp.dt(t))

# 分离变量后积分
left_int = sp.integrate(1/(T0 - T), T)
right_int = sp.integrate(1/tau, t) + C

# 求解T(t)
solution = sp.solve(sp.Eq(left_int, right_int), T)
print("通解：", solution)

运行代码后会输出通解：[T0 - C*exp(-t/tau)]，与手动推导结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者remusconnor