使用Monte-Carlo方法近似曲线下面积时函数输出精确值的问题排查

你的代码存在三个核心错误，导致它直接返回了该区间曲线下的精确面积（巧合的是，你错误计算的矩形面积刚好等于实际精确面积）：

• 未随机生成y值：蒙特卡洛方法需要在包含目标曲线的矩形区域内随机取点，你当前是直接计算y = x³，而非在y的有效取值范围（0到8，因为x最大为2时，y=2³=8）内随机生成y坐标。
• 判断条件完全冗余：if y <= x³永远为真，因为y就是由x³计算而来，所以所有循环中的点都会被计入points_under_curve，最终比例恒为1。
• 矩形总面积计算错误：包含曲线的矩形宽度为2（x从0到2），高度为8（y从0到8），总面积应为2*8，而非你写的2*2。

修正后的代码 #

import random

def monte_carlo_approximation(num_points):
    points_under_curve = 0
    # 定义包含曲线的矩形范围
    rect_width = 2
    rect_height = 8

    for _ in range(num_points):
        x = random.uniform(0, rect_width)
        # 在y轴范围内随机生成点的y坐标
        y_random = random.uniform(0, rect_height)
        # 判断随机点是否落在曲线下方
        if y_random <= x**3:
            points_under_curve += 1

    area_ratio = points_under_curve / num_points
    total_area = area_ratio * rect_width * rect_height
    return total_area 

效果说明 #

调用monte_carlo_approximation(500)时，会得到接近4的近似值（该区间曲线下的精确面积为∫₀²x³dx = 4），多次调用结果会在4附近波动，这才符合蒙特卡洛方法的近似特性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tshirundu Jameson