如何用重复反向代入法求解Heapify递推式？推导疑问解答

你的推导正确性分析 #

你的推导框架是正确的，递推展开的步骤、递归终止条件的设定都没问题，但在对数的转换和理解上需要补充细节：

• 递推展开过程：每次将T(n)替换为T(2n/3) + O(1)，经过i次展开后得到T((2/3)^i * n) + i*O(1)，这一步完全正确。
• 求解递归终止的i值：令(2/3)^i * n = 1，推导出$i = \log_{2/3}(1/n)$，这一步的数学推导也是正确的。

从$O(\log_{2/3}(1/n))$到$O(\log n)$的转换 #

利用对数换底公式即可完成转换，具体步骤如下：

1. 根据换底公式，任意对数满足：$\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}$（也可以用其他底数，比如以10为底，不影响结果）。
2. 代入$\log_{2/3}(1/n)$：
   $$
   \log_{2/3}(1/n) = \frac{\ln(1/n)}{\ln(2/3)} = \frac{-\ln n}{\ln2 - \ln3}
   $$
3. 因为$\ln3 > \ln2$，所以分母$\ln2 - \ln3$是负数，分子$-\ln n$也是负数（n>1时，$\ln n$为正），负负得正，整个式子等价于：
   $$
   \frac{\ln n}{\ln3 - \ln2} = \log_{3/2}n
   $$
4. 大O复杂度只关心增长趋势，不同底数的对数之间是常数倍关系，因此$O(\log_{3/2}n)$和$O(\log n)$是等价的——常数系数在大O表示中可以忽略。

关于“负对数”的疑问 #

你得到的$O(-\log_{2/3}(n))$本质是正数：因为底数$2/3 < 1$，当n>1时，$\log_{2/3}(n)$的结果是负数（比如$\log_{1/2}2 = -1$），所以$-\log_{2/3}(n)$就是正数，和$\log_{3/2}n$完全相等，自然属于$O(\log n)$的范畴。

补充：用主定理快速验证 #

这个递推式也可以用主定理直接验证：

• 主定理针对形如$T(n) = aT(n/b) + f(n)$的递推式，这里$a=1$，$b=3/2$，$f(n)=O(1)$
• 计算$\log_b a = \log_{3/2}1 = 0$，而$f(n)=O(n^{0)$，符合主定理的case2，因此$T(n)=O(n}0 \log n)=O(\log n)$，和你的推导结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuirike