Python中多拟合曲线求交点时计算根与图表不符的问题

问题背景 #

使用4组数据通过curve_fit拟合五次多项式曲线，拟合代码如下：

center_540=np.sort(center_540,axis=0)
y=center_540[itr,:]
x=[0.2 ,0.4, 0.6, 0.8, 1, 2, 3, 4, 5,6]
popt, pcov,info,msg, ier= curve_fit(objective, x, y,full_output=True)
# 提取拟合参数
a, b, c ,d,e,f= popt
# 绘制原始数据点
pyplot.scatter(x, y)
# 生成拟合曲线的x序列
x_line = np.linspace(min(x), max(x), 100)
# 计算拟合曲线的y值
y_line = objective(x_line, a, b, c,d,e,f)
# 绘制拟合曲线
pyplot.plot(x_line, y_line, '--', color='red')
pyplot.xlabel('Rate')
pyplot.ylabel('PSNR')
err = np.dot(info['fvec'], info['fvec'])
plt.title('interpolation error resolution 540p: err=%f' %err)
pyplot.show()

拟合完成后，通过以下函数求解任意两组曲线的交点：

def find_root(a1,b1,c1,d1,e1,f1,a2,b2,c2,d2,e2,f2):
    coeff=[a1-a2,b1-b2,c1-c2,d1-d2,e1-e2,f1-f2]
    print(np.roots(coeff))

调用示例：

find_root(0.0063 , -0.1260 , 1.0146,-4.2147,10.4717,14.9473,0.0179 , -0.3148 , 2.1038,-6.7798,11.6871,15.5829)#1080 vs 720
find_root(0.0063 , -0.1260 , 1.0146,-4.2147,10.4717,14.9473,0.0189 , -0.3332 , 2.2272,-7.1543,12.0520,15.3168)# 1080 vs 540
find_root(0.0063 , -0.1260 , 1.0146,-4.2147,10.4717,14.9473,0.0178 , -0.3181 , 2.1672,-7.0761,11.6511,15.8349)#1080 vs 360
find_root(0.0179 , -0.3148 , 2.1038,-6.7798,11.6871,15.5829,0.0189 , -0.3332 , 2.2272,-7.1543,12.0520,15.3168) # 720 vs 540
find_root( 0.0179 , -0.3148 , 2.1038,-6.7798,11.6871,15.5829,0.0178 , -0.3181 , 2.1672,-7.0761,11.6511,15.8349)#720 vs 360
find_root(0.0189 , -0.3332 , 2.2272,-7.1543,12.0520,15.3168,0.0178 , -0.3181 , 2.1672,-7.0761,11.6511,15.8349)# 540 vs 360

出现的问题：图表中所有交点都小于1，但find_root输出的实根存在大于1或负数的情况，例如：

[ 7.19666881+0.j          4.11941032+2.23825508j  4.11941032-2.23825508j
  1.14334481+0.j         -0.30297219+0.j        ]

原因分析 #

• 多项式外推无实际意义
  拟合数据的x范围是[0.2,6]，五次多项式在该区间外的走势是不受真实数据约束的。图表仅绘制了区间内的曲线，但求解交点时得到的根可能落在区间之外——这些是数学上的解，但和你的实际数据场景无关，不具备业务意义。

• 高次多项式过拟合引发虚假交点
  五次多项式自由度极高，容易对数据中的噪声过度拟合，导致曲线在数据区间外产生剧烈波动，进而生成无意义的虚假交点。你看到的大于1或负数的根，就是这种过度拟合的产物。

• 未限定有效区间筛选根
  两个五次多项式相减得到的差函数是五次多项式，最多有5个根（含复根）。只有落在数据有效区间（或你关心的x范围，比如[0.2,1]）内的实根，才是对应图表中观察到的真实交点，其他根仅为数学解，不符合你的业务场景。

• 多项式参数对应关系可能出错
  检查objective函数的定义是否为标准五次多项式形式：f(x) = a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f。如果参数顺序和你提取的a,b,c,d,e,f不匹配，会导致拟合参数错误，进而计算出错误的交点根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者david