两个精确表示整数的IEEE 754双精度浮点数相乘结果是否总能精确表示？

结论：不是总能精确表示。

IEEE 754标准的double类型使用53位有效尾数（包含1位隐藏的最高位），这意味着它能精确表示的整数范围是-2^53到2^53之间的所有整数（2^53的值为9007199254740992）。

当两个能被double精确表示的整数相乘时：

• 如果乘积的绝对值≤2^53，结果可以被double精确表示，和任意精度整数相乘的结果完全一致；
• 如果乘积的绝对值>2^53，此时乘积的有效位数超过了53位，double类型无法存储完整的有效信息，会进行舍入处理，最终得到的结果和任意精度整数相乘的正确结果存在偏差。

举两个实际例子：

• 2^27（即134217728）可被double精确表示，两个2^27相乘得到2^54（18014398509481984），这个数超出了2^53的范围，double无法精确存储它；
• 整数3002399751580331和3都能被double精确表示，但它们的乘积是9007199254740993——刚好比2^53大1，double无法精确存储这个数，会被舍入为9007199254740992。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peter