咨询：matrix cxr与vector左右相乘的结果是否始终相等

结论：这两种乘法的结果几乎不可能相等，甚至很多情况下其中一种在数学上根本不合法。

核心原因：矩阵乘法的维度匹配规则 #

矩阵乘法要求左操作数的列数必须等于右操作数的行数，否则乘法无意义：

• 对于 矩阵(c×r) × 向量：只有当向量是r维列向量（维度r×1）时，乘法才合法，结果是一个c维列向量（维度c×1）。
• 对于 向量 × 矩阵(c×r)：只有当向量是c维行向量（维度1×c）时，乘法才合法，结果是一个r维行向量（维度1×r）。

仅从结果维度就能看出：除非c=r且忽略向量的行/列属性，否则两者结果的维度完全不同，不可能相等。

实例验证 #

举个具体例子：
设矩阵 A 为2×3（c=2，r=3）：

A = [[1, 2, 3],
     [4, 5, 6]]

• 合法的矩阵×向量：A × [1; 2; 3]（3维列向量），计算结果为 [14; 32]（2维列向量）。
• 合法的向量×矩阵：[1, 2] × A（2维行向量），计算结果为 [9, 12, 15]（3维行向量）。

两者维度不同，显然不相等。

再看方阵的特殊情况：
设矩阵 A 为2×2：

A = [[1, 2],
     [3, 4]]

• A × [5; 6] 的结果是 [17; 39]（2维列向量）。
• [5, 6] × A 的结果是 [23, 34]（2维行向量）。

即使将列向量转置为行向量，[17, 39] 和 [23, 34] 的数值也完全不同。

补充说明 #

只有在极端特殊的场景下（比如矩阵是零矩阵，或向量是零向量），两者结果可能都是零向量，但这只是个例，不具备普遍性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alphapage