无需真值表证明(p→q)→((r∨p)→(r∨q))为重言式及化简求助

方法1：等价演算法 #

利用蕴含式等价规则 p→q ≡ ¬p∨q，将所有蕴含式转换为析取形式，再通过逻辑定律化简：

1. 原公式：(p→q)→((r∨p)→(r∨q))
2. 替换所有蕴含式：¬(¬p∨q) ∨ (¬(r∨p) ∨ (r∨q))
3. 应用德摩根定律展开否定项：(p∧¬q) ∨ ((¬r∧¬p) ∨ r ∨ q)
4. 调整括号（结合律）：(p∧¬q) ∨ ¬r ∧ ¬p ∨ r ∨ q
5. 分组化简：
   • 对(p∧¬q) ∨ q用分配律：(p∨q) ∧ (¬q∨q) ≡ (p∨q) ∧ T ≡ p∨q
   • 对(¬r∧¬p) ∨ r用分配律：(¬p∨r) ∧ (¬r∨r) ≡ (¬p∨r) ∧ T ≡ ¬p∨r
6. 合并化简后的项：(p∨q) ∨ (¬p∨r) ≡ p∨¬p ∨ q ∨ r
7. 由于p∨¬p ≡ T（排中律），最终式子等价于T∨q∨r ≡ T，即永真式。

方法2：自然演绎法 #

假设前提p→q为真，需推导(r∨p)→(r∨q)为真：

• 假设r∨p为真，分两种子情况：
  1. 若r为真，则r∨q必为真；
  2. 若p为真，结合前提p→q可推出q为真，因此r∨q也为真。
• 两种子情况均能推出r∨q为真，故(r∨p)→(r∨q)为真。
  由蕴含式定义，原公式(p→q)→((r∨p)→(r∨q))恒为真，即重言式。

基于等价演算法的化简步骤：

1. 从原公式出发，替换所有蕴含式为析取形式：¬(¬p∨q) ∨ (¬(r∨p) ∨ r ∨ q)
2. 德摩根展开后得到：(p∧¬q) ∨ ¬r ∧ ¬p ∨ r ∨ q
3. 利用分配律、排中律逐步化简：
   • (p∧¬q) ∨ q ≡ p∨q
   • (¬r∧¬p) ∨ r ≡ ¬p∨r
4. 合并后得到(p∨q) ∨ (¬p∨r) ≡ p∨¬p ∨ q ∨ r ≡ T
   最终该公式化简结果为永真式T，说明其真值始终为真，与命题变量取值无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ali Rammal