如何合理计算线性混合模型（LMM）中组间差异的效应量d？

问题场景 #

我对数据进行了线性混合模型（LMM）分析，模型结构如下：

DV ~ Condition * Question + (1 + Condition + Question | Participant)

数据来自被试内设计：被试针对同一刺激在3种Condition、2种Question条件下完成评分。Condition（3水平）和Question（2水平）均采用虚拟编码，结果显示Condition的固定效应显著，Question及二者交互效应不显著。

我使用emmeans()函数进行Condition组间对比，发现Condition1与Condition2、Condition3均存在差异。随后尝试计算效应量d时，得到三个差异较大的结果：

• 手动采用drm公式（d = (Mean2 - Mean1) / SW，其中SW = Sdiff / sqrt(2(1-r))）得到d=0.946
• 用t值公式d = t/sqrt(N)得到d=0.692
• 使用emmeans包的eff_size()函数得到d=1.59

请问在此场景下，计算效应量d的正确方式是什么？

核心原因：不同计算方式的前提与定义差异 #

三种结果的差异本质是对被试内设计中「标准差分母」的选择不同，以及是否适配混合模型的结构：

1. 手动drm公式结果（d=0.946）：经典被试内效应量Cohen's d_z #

这个公式是配对样本（被试内）效应量的标准计算方式：

• Sdiff是同一被试在两组条件下得分差值的标准差
• r是两组条件下得分的相关系数
• 最终得到的Cohen's d_z，反映的是两组均值差相对于个体内部差异的幅度，是被试内设计中最常用、最贴合研究逻辑的效应量指标。

2. t值公式结果（d=0.692）：误用被试间设计的计算方式 #

d = t/sqrt(N)是被试间设计中Cohen's d的近似公式，完全忽略了被试内设计中同一被试重复测量的相关性，直接用总样本量计算，会严重低估效应量，绝对不适用于被试内设计。

3. emmeans::eff_size()结果（d=1.59）：基于模型残差的标准化效应 #

eff_size()默认使用混合模型的残差标准差作为分母，这个残差是控制了被试随机效应后的误差项，通常远小于配对差值的标准差，因此得到的d值会更大。这个结果并非错误，但它反映的是均值差相对于「排除个体差异后的误差」的效应量，和经典的d_z不是同一概念，报告时必须明确说明分母的定义。

正确计算方式的选择 #

• 若想反映同一被试在不同条件下的变化幅度，优先选择手动计算的Cohen's d_z（0.946），这是被试内设计中最具解释力的效应量。
• 若要基于混合模型结果报告效应量，可以使用eff_size()的结果，但必须在报告中明确标注：该效应量是基于模型残差标准差的标准化均值差，避免与经典d_z混淆。
• 严禁使用被试间设计的t值近似公式计算被试内设计的效应量。

额外提示：如果想通过emmeans直接计算经典d_z，可以先提取各组的边际均值，再结合原始数据计算配对差值的标准差和相关系数，或者借助lmerTest等工具获取配对样本的统计量辅助计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user408318