如何求解矩形等面积分割的等比例缩放因子

已知条件梳理 #

• 原矩形：宽200cm，高100cm，面积20000cm²，宽高比为2:1
• 目标中间区域：面积10000cm²（原面积的1/2），且保持与原矩形相同的2:1宽高比

推导过程 #

因为中间区域要和原矩形宽高比一致，所以可以用缩放因子k来表示中间区域的宽和高：

• 中间区域宽 = k × 原矩形宽 = 200k cm
• 中间区域高 = k × 原矩形高 = 100k cm

中间区域的面积计算公式为：

中间区域面积 = (200k) × (100k) = 20000k² cm²

已知中间区域面积为10000cm²，代入等式：

20000k² = 10000

两边同时除以20000，得到：

k² = 10000/20000 = 1/2

对两边取平方根（缩放因子为正数，取正根）：

k = √(1/2) = √2/2 ≈ 0.7071

结论 #

准确的缩放因子是√2/2（约0.7071），核心逻辑是：相似矩形的面积比等于缩放因子的平方——长和宽都按比例缩放时，面积是两个维度缩放比例的乘积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Liet Kynes