Gnuplot中smooth kdensity的$kdensity1第二列含义及缩放常数求解

问题 #

刚接触Gnuplot，不熟悉其基于高斯的核密度重采样功能（smooth kdensity）。运行以下示例脚本后，想明确两个问题：

1. 输出数据集$kdensity1第二列的计算逻辑是什么？
2. 如何根据不同样本集确定合适的缩放常数？

附$kdensity1部分输出数据：

(...)
140.76  13.1663  13.1663  i
146.032  12.5092  12.5092  i
151.304  11.6501  11.6501  i
156.575  10.6298  10.6298  i
161.847  9.5347  9.5347  i
167.119  8.48325  8.48325  i
172.391  7.56657  7.56657  i
177.662  6.80631  6.80631  i
(...)

示例脚本：

nsamp = 3000 
set print $viol1
do for [i=1:nsamp] {
    y = (i%4 == 0) ? 300. +  70.*invnorm(rand(0)) \
      : (i%4 == 1) ? 400. +  10.*invnorm(rand(0)) \
      :              120. +  40.*invnorm(rand(0))
    print sprintf(" 35.0 %8.5g", y)
}
unset print

set title "kdensity mirrored sideways to give a violin plot"

set table $kdensity1
plot $viol1 using 2:(1) smooth kdensity bandwidth 10. with filledcurves above y lt 9 title 'B'
unset table

set border 2
unset margins
unset xtics
set ytics nomirror rangelimited

set xrange [-1:5]
plot  $kdensity1 using (3 + $2/20.):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle, '' using (3 - $2/20.):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle

解答 #

1. $kdensity1第二列的计算逻辑 #

smooth kdensity实现的是高斯核密度估计（KDE），$kdensity1各列的含义：

• 第1列：核密度估计的采样点，对应输入样本的取值（即$viol1的第二列数据）
• 第2列：该采样点的核密度累加值，计算逻辑为：
  对每个样本点，用指定带宽的高斯核函数计算其在当前采样点位置的贡献，然后将所有样本的贡献相加。这个数值和样本总量、带宽直接相关——样本越多、带宽越小，该值的峰值越高。
  公式近似为：$\sum_{i=1}^n K\left(\frac{x - x_i}{h}\right)$，其中$K$是高斯核函数，$h$是设定的带宽，$n$是样本总数（未做归一化，因此数值与样本量正相关）。

2. 确定合适的缩放常数 #

脚本中$2/20.0是为了将密度值缩放到x轴可视范围，要适配不同样本集，可按以下方式处理：

自动计算缩放系数

1. 先统计$kdensity1第二列的最大值：

   stats $kdensity1 using 2 name 'KD'
   

   统计完成后，KD_max变量会存储第二列的峰值。
2. 设定小提琴图的单侧最大宽度（比如希望在x=3左右各延伸2个单位），则缩放系数为KD_max / 目标单侧宽度，绘图时用$2 / 缩放系数即可让密度值刚好填满目标宽度。示例代码：

   target_side_width = 2  # 单侧宽度
   scale = KD_max / target_side_width
   plot $kdensity1 using (3 + $2/scale):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle, \
        '' using (3 - $2/scale):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle
   

动态适配x轴范围

如果不想固定宽度，可根据密度峰值动态调整xrange：

scale_factor = 0.05  # 控制宽度的比例系数，可按需调整
set xrange [3 - scale_factor*KD_max : 3 + scale_factor*KD_max]
plot $kdensity1 using (3 + $2*scale_factor):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle, \
     '' using (3 - $2*scale_factor):1 with filledcurve x=3 lt 9 notitle

若是多组小提琴图对比，取所有组密度峰值的最大值作为统一缩放基准，可保证各组宽度一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guy B