如何通过笛卡尔坐标系两次连续旋转参数化归一化3D向量并分解为旋转分量？

一、将归一化3D向量分解为旋转分量 #

给定归一化3D向量 $\boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z)$（满足 $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 1$），它可看作基准单位向量（通常选 $\boldsymbol{e}_z = (0,0,1)$）经旋转后的结果。分解旋转分量的核心是找到将 $\boldsymbol{e}_z$ 映射到 $\boldsymbol{v}$ 的旋转参数，常用三种方式：

1. 轴角表示 #

• 旋转轴 $\boldsymbol{k}$：取 $\boldsymbol{e}_z$ 与 $\boldsymbol{v}$ 的叉乘方向，即 $\boldsymbol{k} = \frac{\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{v}||}$（当 $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{e}_z$ 时轴可任意选取）
• 旋转角 $\alpha$：满足 $\cos\alpha = \boldsymbol{e}_z \cdot \boldsymbol{v} = v_z$，$\sin\alpha = ||\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

2. 欧拉角表示（Z-Y-X顺序） #

• 偏航角 $\psi$：绕Z轴旋转的角度，由 $\boldsymbol{v}$ 在XY平面的投影与X轴的夹角决定，公式为 $\tan\psi = \frac{v_y}{v_x}$
• 俯仰角 $\theta$：绕Y轴旋转的角度，满足 $\cos\theta = v_z$，$\sin\theta = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
• 滚转角 $\phi$：此时为0（从 $\boldsymbol{e}_z$ 转到 $\boldsymbol{v}$ 无需滚转操作）

3. 四元数表示 #

对应单位四元数为 $q = \left( \cos\frac{\alpha}{2}, \boldsymbol{k} \sin\frac{\alpha}{2} \right)$，代入轴角表示中的 $\alpha$ 和 $\boldsymbol{k}$ 即可得到具体分量。

二、用两次笛卡尔轴旋转参数化归一化3D向量 #

通过先绕Z轴旋转、再绕Y轴旋转的固定顺序，可将基准向量 $\boldsymbol{e}_z$ 转换为任意归一化3D向量 $\boldsymbol{v}$，具体步骤如下：

1. 定义旋转角度

   • 偏航角 $\psi$：将 $\boldsymbol{e}_z$ 在XY平面的投影（初始为(1,0,0)）转到与 $\boldsymbol{v}$ 的XY投影 $(v_x, v_y)$ 同向的角度，计算公式：

     ψ = atan2(v_y, v_x)
     

   • 俯仰角 $\theta$：将绕Z轴旋转后的向量（此时为 $(v_x, v_y, 0)$ 方向的单位向量）旋转到与 $\boldsymbol{v}$ 同向的角度，计算公式：

     θ = arccos(v_z)
     

2. 旋转矩阵验证
   绕Z轴转 $\psi$ 的旋转矩阵：

   R_Z(ψ) = [
       [cosψ, -sinψ, 0],
       [sinψ, cosψ, 0],
       [0, 0, 1]
   ]
   

   绕Y轴转 $\theta$ 的旋转矩阵：

   R_Y(θ) = [
       [cosθ, 0, sinθ],
       [0, 1, 0],
       [-sinθ, 0, cosθ]
   ]
   

   两次旋转后的结果为 $R_Y(\theta) \cdot R_Z(\psi) \cdot \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{v}$，代入角度公式可直接验证等式成立。

3. 特殊情况处理

   • 当 $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{e}_z$ 或 $\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{e}_z$ 时，$\psi$ 可取任意值（XY投影为零，偏航角不影响结果）
   • 计算 $\psi$ 时用 atan2(v_y, v_x) 而非普通 arctan，可避免象限判断错误

内容的提问来源于stack exchange，提问作者a.smiet