如何在NumPy中对两个矩阵的对应列执行矩阵乘法并求和？

已知两个形状为(2, N)的矩阵A和b，需要对每一列执行以下操作：取A的第i列（2x1列向量）与b的第i列的转置（1x2行向量）做矩阵乘法得到2x2矩阵，再将所有列对应的2x2矩阵求和。无需循环，用NumPy的向量化操作即可高效完成。

核心解法 #

直接使用NumPy的矩阵乘法运算符@（或np.matmul函数）：

import numpy as np

A = np.array([[1, 3, 5],
              [2, 4, 6]])
b = np.array([[7, 9, 11],
              [8, 10, 12]])

# 直接计算所有列外积的和
result = A @ b.T
print(result)

运行后输出：

[[ 89  98]
 [116 128]]

原理验证 #

这个结果和手动分步计算的结果完全一致：

• 第1列外积：[[1],[2]] @ [[7,8]] = [[7,8],[14,16]]
• 第2列外积：[[3],[4]] @ [[9,10]] = [[27,30],[36,40]]
• 第3列外积：[[5],[6]] @ [[11,12]] = [[55,60],[66,72]]
• 求和结果：[[7+27+55, 8+30+60],[14+36+66,16+40+72]] = [[89,98],[116,128]]

为什么这个方法高效 #

矩阵乘法A @ b.T的本质就是将A的每一列与b的对应列做外积后求和，完全贴合你的需求。这种向量化操作由NumPy底层的C优化实现，避免了Python循环的开销，当N取值很大时，性能优势会非常明显。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lorde213423432e43434