如何强制lm()和glm()函数在线性回归中不重构权重？

问题背景 #

lm()和glm()做线性回归时，会将输入的权重视为相对权重——即便传入w或w*100，得到的系数、p值和置信区间完全一致。这是因为函数仅关注权重的比例关系，而非绝对值。

实现方法 #

要让函数直接使用你指定的权重绝对值，需要手动修正统计量的计算（系数估计不受权重缩放影响，但标准误、p值等会受影响）：

1. 拟合基础模型
   先用lm()或glm()（指定family=gaussian(link="identity")）拟合模型，传入原始权重：

   # 示例数据
   set.seed(123)
   x <- rnorm(100)
   y <- 1 + 2*x + rnorm(100, sd=1)
   w <- runif(100, 1, 10) # 自定义绝对权重
   
   # 拟合模型
   mod <- lm(y ~ x, weights = w)
   # 或用glm
   # mod <- glm(y ~ x, weights = w, family = gaussian(link = "identity"))
   

2. 手动计算绝对权重下的统计量
   提取模型矩阵和权重矩阵，计算基于原始权重的方差-协方差矩阵，进而得到标准误、p值和置信区间：

   # 提取模型矩阵和权重
   X <- model.matrix(mod)
   W <- diag(mod$weights)
   
   # 计算绝对权重对应的方差-协方差矩阵
   vcov_absolute <- solve(t(X) %*% W %*% X)
   
   # 计算标准误、t值、p值
   se_absolute <- sqrt(diag(vcov_absolute))
   t_vals <- coef(mod) / se_absolute
   p_vals <- 2 * pt(abs(t_vals), df = mod$df.residual)
   
   # 整理系数表
   coef_table <- cbind(
     估计值 = coef(mod),
     标准误 = se_absolute,
     t值 = t_vals,
     p值 = p_vals
   )
   
   # 计算置信区间
   confint_absolute <- coef(mod) + qt(c(0.025, 0.975), df = mod$df.residual) %o% se_absolute
   rownames(confint_absolute) <- names(coef(mod))
   colnames(confint_absolute) <- c("2.5%", "97.5%")
   

说明 #

• lm()和glm()的系数估计本身不受权重缩放影响，因为加权最小二乘的解仅依赖权重比例；但标准误、p值等统计量会因权重绝对值改变，因此需要手动修正。
• 逻辑回归的glm()处理权重的方式是正确的（直接使用绝对值），无需额外修正。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Viktor