相机内参K、外参P是否唯一？仅Homography KP唯一？

核心结论 #

单独的内参K和外参P不唯一，但齐次意义下的投影变换（即KP的等价类）是唯一的——只要两组$K_1P_1$与$K_2P_2$相差一个非零标量倍数，它们对世界点的投影结果（归一化后）就完全一致。

差异产生的具体原因 #

1. 齐次坐标的尺度歧义 #

相机投影基于齐次坐标的线性变换：世界点$\boldsymbol{X}$（齐次4维向量）通过$P$转换为相机坐标系下的齐次向量，再通过$K$转换为图像齐次向量$\boldsymbol{x}=KP\boldsymbol{X}$。而齐次向量的本质是等价类——$\boldsymbol{x}$与$s\boldsymbol{x}$（$s≠0$）代表同一个图像点。

这意味着：如果给$P$整体乘以非零标量$s$，同时给$K$乘以$s^{-1}$，$KP$的投影效果完全不变：
$$(s^{-1}K) \times (sP) = KP$$
这种尺度自由度直接导致K和P可以在保持投影效果一致的前提下，各自调整尺度。

2. 内参约束的差异 #

你的自行实现结果中，K矩阵的(0,1)元素（倾斜项skew）不为0，而OpenCV的calibrateCamera默认会强制倾斜项为0——这是两种实现对内参结构约束的差异，属于校准过程中人为加入的不同先验，最终会得到不同的K、P组合，但只要投影误差满足要求，都是有效解。

3. 算法优化的多解性 #

相机校准本质是最小化重投影误差的非线性优化问题，这类问题可能存在多个局部最优解，或者在满足误差阈值的前提下，存在一组等价的解空间。不同的初始化方式、迭代策略（比如你的实现和OpenCV的优化细节差异），会收敛到解空间中的不同点，但这些点对应的投影变换都是等价的。

验证依据 #

你提到两组结果归一化后的图像向量完全相同，这正好印证了上述结论：尽管K和P各自不同，但它们的乘积在齐次意义下是等价的，最终投影结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohamed Amtouti