Dyalog APL浮点对数计算的精度差异成因问询

以下是导致Dyalog APL不同精度模式下运行结果与1974年《Decimal Computation》中APL/360结果出现差异的核心原因：

• 底层浮点实现的本质差异
  APL/360作为1970年代IBM大型机上的早期实现，其十进制浮点格式与Dyalog APL的⎕FR模式存在根本性区别：

  • APL/360采用IBM专属的十进制浮点存储规则（基于BCD编码，有效位数、指数范围与Dyalog的DECIMAL64/DECIMAL128不同）；
  • Dyalog的⎕FR←645对应DECIMAL64标准（6位有效十进制数），⎕FR←1287对应DECIMAL128标准（16位有效十进制数），两者的存储布局、舍入逻辑均遵循现代十进制浮点规范，与APL/360的老旧实现不兼容。

• 迭代误差的累积放大
  LOG函数的逐次逼近算法（如泰勒展开、连分数迭代）对中间结果的精度高度敏感：

  • 前10步的微小舍入误差会在后续迭代中被持续放大，到第11步时，不同精度模式下的误差量级差异（DECIMAL64为10⁻⁶，DECIMAL128为10⁻¹⁶）已足以让S寄存器的值出现可观测偏差；
  • APL/360的浮点精度与Dyalog两种模式均不匹配，其每一步的误差走向与Dyalog完全不同，最终导致结果偏差。

• 舍入规则与时机的差异

  • APL/360可能采用截断舍入或特定的银行家舍入规则，而Dyalog默认使用四舍五入舍入模式；
  • 你将原脚本中的DFT改为⍕时，引入了格式化输出的额外舍入逻辑——DFT可能直接输出寄存器原始浮点值，而⍕会按指定格式对数值进行舍入，导致调试观测到的S寄存器值与原书的中间结果不一致。

• 有效位数的先天差异
  APL/360的十进制浮点有效位数（大概率为8位或10位）与Dyalog的DECIMAL64（6位）、DECIMAL128（16位）均不相同：

  • 有效位数的差异直接决定了每一步计算的精度上限，迭代到第11步时，前期的位数差异积累已足够产生明显的数值偏差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Neil Bartlett