Y'组合子如何与Y组合子等价？能否通过β归约转换为X形式？

首先明确已知内容：

• Y'的SKI表达式：Y' = SSK(S(K(SS(S(SSK))))K)，对应λ表达式：Y' = (λab.aba) (λab.a(bab))
• 目标X的两种形式：
  • X₁ = λa.(λx.xx)(λx.a(xx))
  • X₂ = λa.(λx.a(xx))(λx.a(xx))

第一步：确认X₁与X₂的β等价性 #

对X₁中的(λx.xx)(λx.a(xx))做β归约——将λx.xx应用到N=λx.a(xx)，直接得到N N，也就是X₂中的(λx.a(xx))(λx.a(xx))。因此X₁ ≡β X₂（二者β等价）。

第二步：对Y'做β归约推导 #

1. 令A = λab.aba，B = λab.a(bab)，则Y' = A B。将A应用到B，代入A的第一个参数a为B，得到：

   Y' = λb. B b (B b)
   

2. 化简B b：B是λab.a(bab)，将第一个参数a替换为b，同时把原第二个参数b重命名为c避免冲突，得到：

   B b = λc. b (c b c)
   

   换变量名为x后，即B b = λx. b (x b x)。
3. 将其代回Y'的表达式，最终得到：

   Y' = λb. (λx. b (x b x)) (λx. b (x b x))
   

等价性说明 #

上述推导得到的Y'形式与X₂结构高度相似，二者作为不动点组合子是β等价的——核心依据是它们都满足不动点的核心性质：对任意函数f，Y' f ≡β f (Y' f)，X₂ f ≡β f (X₂ f)。

若要追求语法上的更接近，可通过η扩张调整，但从λ演算的等价性定义来看，二者的行为完全一致，属于同一等价类的不动点组合子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ypa y yhm