矩阵极分解实现疑问：Numpy特征值与视频方法的差异

一、手动实现的代码与验证 #

按照教程提供的特征值和特征向量，手动实现极分解的代码如下：

import numpy as np

A = np.array([[4,-14,1],[22,23,18],[15,10,20]])
A_T_multiply_A = np.array(A.T @ A)
print("A transpose into A")
print(A_T_multiply_A)

x = np.array([[-1,1,1],[0,-2,1],[1,1,1]])           # 特征向量矩阵（列向量为特征向量）
y = np.array([[25,0,0],[0,225,0],[0,0,2025]])      # 特征值对角矩阵
z = np.linalg.inv(np.array([[-1,1,1],[0,-2,1],[1,1,1]]))    # 特征向量矩阵的逆
A_transpose_A = x @ y @ z
print("A transpose A by multiplying Eigen vectors, Eigen values and Inv of Eigen vectors")
print(A_transpose_A)  
P  = x @ np.sqrt(y) @ z
print("Matrix P")
print(P)
U = A @ np.linalg.inv(P)
print("Matrix U")
print(U)

该代码能得到正确的正交矩阵U和半正定矩阵P。

二、Numpy计算特征值/特征向量的代码与结果 #

使用numpy.linalg.eig计算$A^T A$的特征值和特征向量的代码如下：

import numpy as np

# 定义矩阵
A = np.array([[4,-14,1],
              [22,23,18],
              [15,10,20]])
A_T_multiply_A = np.array(A.T @ A)

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A_T_multiply_A)

# 打印结果
print("Eigenvalues:")
print(eigenvalues)

print("\nEigenvectors:")
print(eigenvectors)

输出结果为：

Eigenvalues:
[2025.   25.  225.]

Eigenvectors:
[[-5.77350269e-01 -7.07106781e-01  4.08248290e-01]
 [-5.77350269e-01 -3.91901695e-16 -8.16496581e-01]
 [-5.77350269e-01  7.07106781e-01  4.08248290e-01]]

可以看到，该结果与教程提供的特征值、特征向量存在明显差异。

三、Scipy Polar API的参考结果 #

使用Scipy内置的极分解API直接计算的代码如下：

import numpy as np
from scipy.linalg import polar
A = np.array([[4,-14,1],[22,23,18],[15,10,20]])
U, P = polar(A)
print("Matrix U=")
print(U)
print("Matrix P=")
print(P)

输出结果为：

Matrix U=
[[ 6.00000000e-01 -8.00000000e-01  2.40023768e-16]
 [ 8.00000000e-01  6.00000000e-01  3.21346710e-16]
 [ 2.32191141e-16  6.61562711e-17  1.00000000e+00]]
Matrix P=
[[20. 10. 15.]
 [10. 25. 10.]
 [15. 10. 20.]]

该结果是极分解的标准正确输出。

四、差异原因解析 #

Numpy计算结果与教程的差异完全是特征值/特征向量的表现形式差异，而非计算错误，具体原因如下：

1. 特征值顺序不同：
   Numpy的linalg.eig函数返回的特征值没有固定的排序规则（并非严格按大小升序/降序），但返回的特征值集合与教程完全一致（都是25、225、2025），只是排列顺序不同。

2. 特征向量的形式差异：

   • 归一化处理：教程中使用的是未归一化的整数特征向量，而Numpy返回的是**单位化（长度为1）**的特征向量，二者成比例（比如教程中对应特征值225的特征向量是[1,-2,1]，Numpy返回的是该向量除以其模长$\sqrt{1^2+(-2)2+1^2}=\sqrt{6}$后的结果），本质属于同一个特征空间。
   • 符号差异：特征向量的符号不唯一——如果$\mathbf{v}$是特征向量，那么$-\mathbf{v}$同样满足特征方程$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。Numpy返回的部分特征向量与教程中的向量符号相反，这是完全合法的。

只要基于Numpy的结果正确构造特征值对角矩阵（按特征向量的对应顺序），并计算$P = V \sqrt{\Lambda} V^{T$（由于$A}T A$是对称矩阵，特征向量矩阵$V$正交，其逆等于转置），最终得到的P和U会与Scipy的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者m123416