如何以四元数形式计算角加速度？特定运动场景下的求解

已知物体当前姿态为单位四元数q₁，当前角速度的四元数形式qᵣ = 0.5 * w * q₁（w是对应角速度矢量的纯虚四元数），要求在时间dt内将姿态调整至q₂并停止转动（末角速度为0），以下是具体计算步骤：

1. 计算姿态变换的总旋转量 #

首先明确从q₁到q₂的总旋转：

• 计算旋转四元数：Δq = q₂ * q₁⁻¹，其中单位四元数的逆等于其共轭，即q₁⁻¹ = [q₁₀, -q₁₁, -q₁₂, -q₁₃]（q₁ = [q₁₀, q₁₁, q₁₂, q₁₃]）
• 将Δq转为轴角表示：对于Δq = [Δq₀, Δq₁, Δq₂, Δq₃]，旋转角度θ = 2 * arccos(Δq₀)，旋转轴单位矢量k = [Δq₁, Δq₂, Δq₃] / sin(θ/2)（当θ≠0时）

2. 从初始角速度四元数提取角速度矢量 #

由qᵣ = 0.5 * w₁ * q₁，可反推初始角速度对应的纯虚四元数：
w₁ = 2 * q₁⁻¹ * qᵣ
将w₁的虚部提取出来就是初始角速度矢量[w₁ₓ, w₁ᵧ, w₁_z]

3. 分场景计算角加速度 #

场景1：初始角速度与目标旋转轴共线 #

如果w₁的方向和旋转轴k完全一致，可简化为标量运动分析：

• 因为末角速度为0，假设采用匀变速旋转，角速度随时间变化为w(t) = |w₁| + α * t，代入t=dt时w(dt)=0，得α = -|w₁| / dt
• 此时需要验证总旋转角度是否满足θ = 0.5 * |w₁| * dt：这是匀减速到0时刚好完成旋转的条件。如果不满足，说明无法用恒定角加速度同时达成姿态和角速度约束，需要调整运动轨迹。

场景2：通用情况（轴不共线或角度不匹配） #

这种情况下需要用轨迹规划来满足所有约束，常用三次多项式轨迹：

步骤1：定义角度随时间的多项式

设旋转角度θ(t)为三次多项式：
θ(t) = a₁ t + a₂ t² + a₃ t³
（边界条件θ(0)=0，故常数项a₀=0）

步骤2：代入边界条件求解系数

已知：

• θ(dt) = θ_total（总旋转角度）
• θ̇(0) = |w₁|（初始角速度大小）
• θ̇(dt) = 0（末角速度为0）

代入后得到方程组：

a₁ * dt + a₂ * dt² + a₃ * dt³ = θ_total
a₁ = |w₁|
a₁ + 2*a₂*dt + 3*a₃*dt² = 0

解这个方程组可得a₂和a₃。

步骤3：计算角加速度

角加速度的大小为角度的二阶导数：
α(t) = θ̈(t) = 2a₂ + 6a₃ t
再将其乘以旋转轴单位矢量k，得到角加速度矢量α(t) = α(t) * k

更精确的四元数二阶微分方法 #

如果需要考虑三维空间中旋转的耦合，可直接对四元数轨迹求导：

• 定义满足边界条件的四元数轨迹q(t)：q(0)=q₁，q(dt)=q₂，q̇(0)=qᵣ，q̇(dt)=0
• 对q̇(t)求导得到q̈(t)，再根据四元数运动学关系推导角加速度：
  α(t) = 2 * q(t)⁻¹ * q̈(t) - 0.5 * w(t) * w(t)
  其中w(t)是t时刻的角速度纯虚四元数，由q̇(t) = 0.5 * w(t) * q(t)反推得到。

关键注意点 #

• 四元数乘法不满足交换律，所有运算必须严格遵循顺序
• 当旋转角度θ接近0或2π时，arccos和sin的计算会有精度问题，需做数值稳定性处理
• 如果初始角速度与目标旋转轴不共线，需要考虑三维空间中的旋转合成，可结合欧拉角或向量旋转分解运动

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SZYoo