为何线段树的高度为O(logn)？相关疑问求解

1. 为什么线段树不会出现O(n)高度的情况？ #

你提到的那种高度为(n-1)/2的满二叉树，是极端不平衡的满二叉树，但线段树的构建规则从根源上杜绝了这种情况：

• 线段树的每个节点都会把当前负责的区间尽可能平分成左右两个子区间（比如长度为n的区间，左子区间长度是⌊n/2⌋，右子区间是⌈n/2⌉）。
• 这种划分方式保证了左右子树的高度差最多为1，整个树是平衡二叉树，不会出现一边子树无限延伸、另一边只有一个节点的极端情况。所以它的高度不可能达到O(n)，只会是logn级别。

2. 为什么ceil(logn)属于O(logn)？ #

大O符号的核心是描述增长趋势的上界，只要存在一个常数C，当n足够大时，高度h ≤ C*logn，就可以说h是O(logn)：

• ceil(logn)代表取不小于logn的最小整数，它的取值最多比logn大1，比如ceil(log₂(5))=3，而log₂(5)≈2.32，差值不到1。
• 当n≥2时，ceil(logn) ≤ logn + 1 ≤ 2logn（因为此时logn≥1），这里C=2就是满足条件的常数，所以ceil(logn)完全符合O(logn)的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者khlrrr