求旋转矩形覆盖固定容器所需的最小缩放比例计算方法

核心参数定义 #

• 固定容器：宽W，高H
• 待旋转矩形原始尺寸：宽w，高h
• 旋转角度：θ（取0到π/2弧度即可，超过该范围的旋转具有对称性，结果一致）

推导逻辑 #

要让旋转后的矩形完全覆盖容器，本质是容器的所有顶点都必须落在旋转并缩放后的矩形内部。通过坐标系旋转和投影分析，可推导出两个约束条件：

1. 容器在旋转矩形的原始宽度方向上的投影总和，不能超过缩放后矩形的宽度s*w
2. 容器在旋转矩形的原始高度方向上的投影总和，不能超过缩放后矩形的高度s*h

基于这两个约束，得到关于缩放因子s的不等式：

s ≥ (W*|cosθ| + H*|sinθ|) / w
s ≥ (W*|sinθ| + H*|cosθ|) / h

最终计算公式 #

最小的缩放比例是上述两个值中的较大者，即：

s = max( (W*|cosθ| + H*|sinθ|)/w, (W*|sinθ| + H*|cosθ|)/h )

验证说明 #

• 当容器和矩形为同尺寸正方形时，旋转45度代入公式，得到s=√2，和实际需求一致（缩放1.414倍后旋转刚好覆盖原正方形）
• 当旋转角度为0时，公式退化为s=max(W/w, H/h)，即直接缩放至矩形能覆盖容器的最小比例，符合直觉

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GtwoK