如何计算指定字符串模式a(n)中第k位的数字？技术求助

输入两个整数n（n≤10^{5）和k（k≤10}15），需找到字符串a(n)中第k位的数字。字符串生成规则为a(n) = 字符串形式的n + 2*a(n-1)（字符串拼接操作，非整数运算），示例如下：

• a(1) = "1"
• a(2) = "211"
• a(3) = "3211211"
  若a(n)的长度小于k，则返回-1。

• 最初假设a(n)的长度为2^n - 1，但发现仅在n<10时该公式成立；
• 尝试计算相同数字对的间隔，但未找到可行方法；
• 因n最大可达10^5，无法使用循环遍历；且在C++中计算大数时出现inf（非数值）问题，目前无解决思路。

输入：5 4
a(5)为"5432112113211211432112113211211"，第4位数字为2，输出为2。

#include<fstream>
#include<cmath>
using namespace std;

int main() {
    ifstream fi;
    fi.open("input.inp");
    double n,k;
    fi >> n >> k;
    long long l = pow(2, n)-1;
    int ans;
    if (k>l) {
        ans = -1;
    }
    else if (k==1) {
        ans = n;
    }
    else {
        k = l+1-k;
        while (n>0) {
            if (log2(k+1)==floor(log2(k+1))) {
                ans = log2(k+1);
                break;
            }
            else {
                n-=1;
                if (k-(pow(2,n)-1)>=0) {
                    k-=(pow(2,n)-1);
                }
            }
        }
    }
    ofstream fo;
    fo.open("output.out");
    fo << ans;
    return 0;
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Minh Tuấn Nguyễn