求由不等式x² ≤ y ≤ exp(–x²)确定的二维图形面积（保留四位小数）

步骤1：确定积分区间 #

首先找到两条曲线 (y=x^2) 和 (y=e^{-x2}) 的交点，解方程：

x^2 = e^{-x^2}

令 (t=x^2)（(t>0)），方程转化为 (t = e^{-t})。该方程无解析解，通过数值方法求得解为 (t \approx 0.567143)，因此 (x = \pm\sqrt{t} \approx \pm0.753188)，积分区间为 ([-0.753188, 0.753188])。

步骤2：建立面积积分公式 #

由于两条曲线均为偶函数，面积可简化为两倍的右半区间积分：

面积 = 2 \int_{0}^{a} \left( e^{-x^2} - x^2 \right) dx

其中 (a \approx 0.753188)。

步骤3：计算积分项 #

• 对于 (\int e^{-x2}dx)，其原函数与误差函数 (erf(x)) 相关：(\int_{0}^{a} e^{-x2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(a))
• 对于 (\int x^2dx)，原函数为 (\frac{x^3}{3})，因此 (\int_{0}^{a} x^2dx = \frac{a^3}{3})

代入后面积公式变为：

面积 = \sqrt{\pi} \cdot erf(a) - \frac{2a^3}{3}

步骤4：代入数值计算 #

• (\sqrt{\pi} \approx 1.772454)
• (erf(0.753188) \approx 0.714604)
• (a^3 \approx 0.427107)

计算得：

面积 ≈ 1.772454 \times 0.714604 - \frac{2 \times 0.427107}{3} ≈ 1.266627 - 0.284738 ≈ 0.9819

最终结果 #

保留四位小数，该图形的面积为 0.9819

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mei Xi