如何修正目标函数乘积项线性化后的GAMS模型偏差？

问题概述 #

在GAMS中尝试用McCormick包络线性化目标函数中的x(t)*y(t)乘积项，原模型中u(t)为二元变量（u=1表示时间步t启用x、y，u=0则x、y为0），但线性化后求解时u(t)变为连续变量（如u(t1)=0.295），且结果与原模型不符。

原模型 #

min Ob = sum(t, (another terms) + x(t)*y(t))  
s.t. x(t) <= u(t) * x_max
     x(t) >= u(t) * x_min
     y(t) <= u(t) * y_max
     y(t) >= u(t) * y_min
     other constraints but not any related to the product of x and y

现有线性化模型 #

min Ob = (another terms) + z
s.t. z(t) >= x_min * y(t) + y_min * x(t) - x_min * y_min
     z(t) >= x_max * y(t) + y_max * x(t) - x_max * y_max  
     z(t) <= x_min * y(t) + y_max * x(t) - x_min * y_max
     z(t) <= x_max * y(t) + y_min * x(t) - x_max * y_min
     x(t) <= u(t) * x_max
     x(t) >= u(t) * x_min
     y(t) <= u(t) * y_max
     y(t) >= u(t) * y_min
     other constraints but not any related to the product of x and y

核心问题分析 #

1. u(t)的二元属性未明确声明：GAMS中若未显式指定u(t) binary;，求解器会默认将其视为连续变量，这是u出现非0/1值的直接原因。
2. McCormick约束未关联u(t)的状态：现有约束未区分u(t)=0和u(t)=1的场景，当u取中间值时，z(t)的约束仍生效，给求解器留下了优化空间，导致u偏离二元属性。
3. 目标函数写法错误：原模型是对每个t求和，现有线性化模型的目标函数未包含sum(t, ...)，导致目标函数逻辑与原模型不符。

修正步骤 #

1. 明确u(t)的二元属性 #

在GAMS模型的变量声明部分，必须添加：

u(t) binary;

确保求解器将u(t)视为二元变量处理。

2. 给McCormick约束添加u(t)开关 #

针对u(t)的两种状态，对z(t)的约束进行松绑或强化：

• 当u(t)=1时，启用标准McCormick包络约束；
• 当u(t)=0时，约束z(t)=0（因x(t)=0、y(t)=0，乘积项为0）。

具体约束写法：

// 定义足够大的松弛项M（需大于z(t)的最大可能绝对值）
parameter M;
M = abs(x_max*y_max) + abs(x_min*y_min);

// 带开关的McCormick约束
z(t) >= x_min * y(t) + y_min * x(t) - x_min * y_min - (1 - u(t))*M;
z(t) >= x_max * y(t) + y_max * x(t) - x_max * y_max - (1 - u(t))*M;
z(t) <= x_min * y(t) + y_max * x(t) - x_min * y_max + (1 - u(t))*M;
z(t) <= x_max * y(t) + y_min * x(t) - x_max * y_min + (1 - u(t))*M;

// 强制u=0时z=0
z(t) <= u(t)*M;
z(t) >= -u(t)*M;

当u(t)=0时，(1-u(t))*M会让前四个约束松弛，而后两个约束直接限制z(t)=0；当u(t)=1时，开关项失效，前四个约束恢复为标准McCormick包络。

3. 修正目标函数 #

将线性化后的目标函数改为与原模型一致的求和形式：

min Ob = sum(t, (another terms) + z(t));

4. 验证变量边界合理性 #

确保x_min、x_max、y_min、y_max是u(t)=1时x(t)、y(t)的有效边界值，若存在负数边界，需确认McCormick约束的形式是否适配（标准McCormick适用于变量有上下界的情况，若边界包含负数仍可使用，但需保证M的取值足够覆盖极端情况）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Thành Trần