为何两个不同旋转矩阵与同一向量点乘结果相同？

我有两个不同的旋转矩阵，将它们分别与同一向量进行点乘运算时，得到的结果完全一致。这一现象意味着什么？

涉及的向量、旋转矩阵及运算结果如下：

vec = [-7.74299796, 7.28526622, 9.15009209]

rot_mat1 = [[ 0.39713126,  0.85165074, -0.34202014],
            [-0.81079831,  0.15097003, -0.56552114],
            [-0.4299917 ,  0.50189548,  0.7504719 ]]

rot_mat2 = [[ 0.82343558,  0.21636871,  0.52453639],
            [ 0.0429524 ,  0.89801831, -0.43785637],
            [-0.56578171,  0.38307661,  0.73016667]]

运算结果：

[ 0.,  2.203296, 13.852754]

这种现象可以从线性代数和几何两个角度解释：

线性代数视角 #

两个旋转矩阵作用于vec结果相同，等价于：
rot_mat1 · vec = rot_mat2 · vec
移项后可得：
(rot_mat2 - rot_mat1) · vec = 0
这说明vec是矩阵rot_mat2 - rot_mat1的**零空间（核空间）**中的向量——两个矩阵的差异无法通过vec体现，该矩阵对vec的变换结果为零向量。

几何视角 #

旋转矩阵的本质是对三维向量做正交旋转变换（仅改变方向，保持长度不变）。两个不同旋转对vec的变换结果一致，意味着：

• vec经过两个旋转变换后，最终空间位置完全重合。
• 常见场景包括：
  • vec是两个旋转的共同不动向量：比如两个旋转绕同一轴进行（即使角度不同），而vec恰好位于该旋转轴上，旋转不会改变其位置，结果自然一致。
  • 两个旋转的差异在vec方向上抵消：比如一个旋转将vec绕轴A转θ，另一个绕轴B转φ，最终vec被转到了同一位置。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Novacane