如何用PyTorch求解固定矩阵C时A=BC矩阵分解中的B矩阵？

问题分析 #

已知多个矩阵样本 (A_1, A_2, A_3, \dots) 和固定矩阵 (C)，满足 (A_i = B_i C)，需要求解每个对应的 (B_i)。这本质是求解线性方程组的最优解：当 (C) 列满秩时存在唯一精确解，非列满秩时可求最小二乘意义下的最优解。

核心解法 #

利用Moore-Penrose伪逆求解是最直接的方式：对每个 (A_i)，(B_i = A_i \times C^+)，其中 (C^+) 是 (C) 的伪逆。PyTorch内置的torch.pinverse()方法会自动处理列满秩/非满秩场景，输出最小二乘最优解。

代码实现示例 #

import torch

# 定义已知的固定矩阵C（示例：3×2矩阵）
C = torch.tensor([[1.0, 2.0],
                  [3.0, 4.0],
                  [5.0, 6.0]])

# 定义多个已知的A矩阵样本（示例：两个2×2矩阵）
A1 = torch.tensor([[7.0, 8.0],
                   [9.0, 10.0]])
A2 = torch.tensor([[11.0, 12.0],
                   [13.0, 14.0]])

# 计算C的伪逆
C_pinv = torch.pinverse(C)

# 求解每个B矩阵
B1 = A1 @ C_pinv
B2 = A2 @ C_pinv

# 验证结果：对比B_i@C与原A_i的误差
print("B1@C与A1的误差：", torch.norm(B1 @ C - A1))
print("B2@C与A2的误差：", torch.norm(B2 @ C - A2))

关键说明 #

• 若 (C) 是可逆方阵，伪逆等价于普通逆矩阵，此时解是精确的；
• 若 (C) 列数大于行数（列不满秩），伪逆会给出最小化Frobenius范数 (|A_i - B_i C|_F^2) 的最优解；
• 批量处理可提升效率：将多个A矩阵堆叠成张量，一次性计算所有B矩阵：

  # 批量处理示例：堆叠A1、A2为(2,2,2)的张量
  A_batch = torch.stack([A1, A2])
  B_batch = A_batch @ C_pinv
  print(B_batch.shape)  # 输出: torch.Size([2, 2, 3])
  

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Manh Nguyen Tien