如何计算(1-SQRT(0.5))的任意精度定点表示？

常数与需求说明 #

我有一个常数0.29289321881345247559915563789515...，可通过公式(1 - SQRT(0.5))计算得到，需要将其转换为定点格式，以适配不同大小的无符号整数，示例如下：

问题与核心需求 #

由于涉及平方根函数，且随着字长增大对数值精度要求越来越高，手动计算这些定点值变得难以实现。我了解到有“抽头算法”可以在有限内存下输出π的数位，希望类似算法也能用于这个常数，但找到的相关论文无法完全理解并转化为代码。

需要解决的问题：

• 如何在类C语言（优先C#）中实现该常数的定点格式计算？
• 针对2的幂次字长，是否存在更高效的计算方法？

额外背景 #

我有一段C#代码片段：

y -= uint.CreateChecked(value: BinaryIntegerConstants<T>.Size) switch {
    8U => (x * ((y * T.CreateChecked(value: 5UL)) >> 4)),
    16U => (x * ((y * T.CreateChecked(value: 75UL)) >> 8)),
    32U => (x * ((y * T.CreateChecked(value: 19195UL)) >> 16)),
    64U => (x * ((y * T.CreateChecked(value: 1257966796UL)) >> 32)),
    128U => (x * ((y * T.CreateChecked(value: 5402926248376769403UL)) >> 64)),
    _ => throw new NotSupportedException(), // TODO: Research a way to calculate the proper constant at runtime.
}

目前已通过手动计算得到上述代码中的常数，但受double类型精度限制，无法扩展到更大的字长。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kittoes0124