如何将数组最大点积问题的自上而下DP转换为自下而上DP？

给定两个正整数数组a和b，大小分别为n和m（n≥m），任务是通过在第二个数组中插入零（不得打乱元素顺序）来最大化点积。
数组a和b的点积定义为：a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + … + a[n-1]*b[n-1]。

我已经写出了如下自上而下的DP（动态规划）解决方案，运行正常，但想不出对应的迭代（自下而上）实现方式：

public int recurse(int a[], int b[],int aInd, int bInd, int zeroCount,int dp[][]){
        if(bInd>=b.length || aInd>=a.length)
            return 0;
            
       if(dp[aInd][bInd]!=-1)
         return dp[aInd][bInd];
           
       if(zeroCount==0){
            return dp[aInd][bInd]=a[aInd]*b[bInd]+recurse(a,b,aInd+1,bInd+1,0,dp);
        }
        
        
         int makeZero=recurse(a,b,aInd+1,bInd,zeroCount-1,dp);
         int noZero=a[aInd]*b[bInd]+recurse(a,b,aInd+1,bInd+1,zeroCount,dp);
           
         return dp[aInd][bInd]=Math.max(makeZero,noZero);
    }

首先明确：需要插入的零的总数是zeroCount = n - m，因为最终b要被补成n个元素才能和a计算点积。

自下而上的核心是从递归的终止条件反向填充DP表——递归是从aInd=0、bInd=0开始往前算，迭代则从a的最后一个元素、b的最后一个元素开始，逐步往回填充。

对应的迭代代码如下：

public int maxDotProduct(int[] a, int[] b) {
    int n = a.length;
    int m = b.length;
    int zeroCount = n - m;

    // dp[i][j] 表示处理a的第i个元素（a[i]）及之后、b的第j个元素（b[j]）及之后时，能得到的最大点积
    int[][] dp = new int[n+1][m+1];

    // 边界初始化：当b的所有元素都处理完（j=m），剩下的a元素只能和零相乘，贡献为0
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][m] = 0;
    }
    // 边界初始化：当a的所有元素都处理完（i=n），没有元素可计算，贡献为0
    for (int j = 0; j <= m; j++) {
        dp[n][j] = 0;
    }

    // 从后往前遍历填充dp表
    for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
        for (int j = m-1; j >= 0; j--) {
            // 剩余可插入的零数：a还剩n-i个元素，b还剩m-j个元素，差值就是还能插的零数
            int remainingZeros = (n - i) - (m - j);
            if (remainingZeros <= 0) {
                // 没零可插了，必须把当前a[i]和b[j]匹配
                dp[i][j] = a[i] * b[j] + dp[i+1][j+1];
            } else {
                // 两种选择：给a[i]插零（不使用b[j]，处理下一个a元素）；匹配b[j]（同时处理下一个a和b元素）
                int chooseZero = dp[i+1][j];
                int chooseMatch = a[i] * b[j] + dp[i+1][j+1];
                dp[i][j] = Math.max(chooseZero, chooseMatch);
            }
        }
    }

    return dp[0][0];
}

1. DP表定义：dp[i][j]代表处理到a[i]和b[j]时，从当前位置到数组末尾能获得的最大点积。
2. 边界条件：
   • 当j == m（b的元素全部用完），剩下的a元素只能和插入的零相乘，所以这部分贡献为0。
   • 当i == n（a的元素全部处理完），没有元素可以继续计算，贡献为0。
3. 状态转移：
   • 计算剩余可插入的零数：用a剩余元素数减去b剩余元素数，得到还能插入的零的数量。
   • 如果没有剩余零，只能将a[i]和b[j]相乘，再加上后续位置的最大点积。
   • 如果还有零可以插，取两种选择的最大值：要么给当前a[i]配零（跳过b[j]，处理下一个a元素），要么将a[i]和b[j]匹配，同时处理下一组元素。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Random Dude